Questão FC624075
Dada a amostra {1, 2, 3} de tamanho 3 dessa população, qual a estimativa de máxima verossimilhança para θ?
Característica dos Estimadores
CESGRANRIO · 2012
A incerteza sobre uma variável de interesse de uma certa população é modelada pela função de densidade de probabilidade.
\(f(x) = \begin{cases} \frac {3} {8 \theta^3} x^2 \quad, \quad se \quad 0 \le x \le 2\theta \\ 0, \quad caso\quad contrario\ \end{cases}\)
com θ um parâmetro positivo e desconhecido.
Dada a amostra {1, 2, 3} de tamanho 3 dessa população, qual a estimativa de máxima verossimilhança para θ?
- 0,5
- 1,5
- 2
- 3
- 6
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Gabarito
B
Comentário do professor
A verossimilhança para a amostra {1,2,3} é o produto das densidades: \(L(\theta)=\prod_{i=1}^3 \frac{3}{8\theta^3}x_i^2 = \frac{27\,(x_1x_2x_3)^2}{8^3\,\theta^9}\).
Observe o domínio da densidade: cada observação satisfaz \(0\le x_i\le 2\theta\), logo é necessário \(2\theta\ge \max\{x_i\}=3\), isto é \(\theta\ge 3/2\).
Como \(L(\theta)\) é proporcional a \(\theta^{-9}\), ela é estritamente decrescente em \(\theta\). O valor que maximiza \(L\) é, portanto, o menor \(\theta\) permitido pelo domínio: \(\hat\theta=\tfrac{3}{2}=1{,}5\).
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