Ensaios em laboratório, tendo probabilidade θ (desconhecida) de sucesso em cada tentativa, são realizados sucessiva e independentemente até a ocorrência do primeiro sucesso. Para c

Gabarito

D

Comentário do professor

Para a variável geométrica com parâmetro \(\theta\), tem-se \(P(X=k)=(1-\theta)^{k-1}\theta\).

Na amostra \(\{3,3,4,5\}\) o produto das probabilidades dá a função de verossimilhança:

\(L(\theta)=(1-\theta)^{(2+2+3+4)}\theta^{4}=(1-\theta)^{11}\theta^{4}\).

É mais simples maximizar a log-verossimilhança \( \ell(\theta)=11\ln(1-\theta)+4\ln\theta\). Derivando e igualando a zero:

\(\ell'(\theta)=-\dfrac{11}{1-\theta}+\dfrac{4}{\theta}=0\Rightarrow \dfrac{4}{\theta}=\dfrac{11}{1-\theta}\).

Resolvendo obtém-se \(4(1-\theta)=11\theta\), logo \(4=15\theta\) e o estimador de máxima verossimilhança é \(\boxed{\theta=\dfrac{4}{15}}\).