Seja {X1, X2,..., Xn} uma amostra aleatória de uma população com função de densidade de probabilidade dada por \(f(X) = {\begin{cases} \theta x^{ \theta -1},\,se\,0\,< x < 1\,e\, \

Gabarito

B

Comentário do professor

Comece pela função de verossimilhança da amostra \(X_1,\dots,X_n\): \(L(\theta)=\prod_{i=1}^n \theta x_i^{\theta-1}=\theta^n\prod_{i=1}^n x_i^{\theta-1}\).

Tomando o logaritmo, obtemos a log-verossimilhança: \(\ell(\theta)=n\ln\theta+(\theta-1)\sum_{i=1}^n\ln x_i\).

Agora derivando em relação a \(\theta\) e igualando a zero para encontrar o extremo: \(\dfrac{d\ell}{d\theta}=\dfrac{n}{\theta}+\sum_{i=1}^n\ln x_i=0\).

Isolando \(\hat\theta\) resulta \(\dfrac{n}{\hat\theta}=-\sum_{i=1}^n\ln x_i\), portanto \(\hat\theta=-\dfrac{n}{\sum_{i=1}^n\ln x_i}\), que é o estimador de máxima verossimilhança.

Vale observar que, como \(00\). Além disso, a segunda derivada \(\dfrac{d^2\ell}{d\theta^2}=-\dfrac{n}{\theta^2}<0\) confirma tratar-se de máximo.