Questão FC624082
A relação entre o valor real de um parâmetro, \(\theta\), e sua estimativa, t, é dada por \(t = a . \theta + \varepsilon\), onde \(\varepsilon \sim N (\beta, n^\gamma)\), \(\beta\)
Característica dos Estimadores
CESGRANRIO · 2014
A relação entre o valor real de um parâmetro, \(\theta\), e sua estimativa, t, é dada por \(t = a . \theta + \varepsilon\), onde \(\varepsilon \sim N (\beta, n^\gamma)\), \(\beta\) e \(\gamma\) são constantes reais, e n é o tamanho da amostra.
Para que t seja uma estimativa coerente de \(\theta\), é preciso que
- \(a = 1, \beta = 0 \quad e \quad \gamma < 0\)
- \(a = 0, \beta = 1 \quad e \quad \gamma = 0\)
- \(a = 1, \beta = 0 \quad e \quad \gamma = 0\)
- \(a = 1, \beta = 1 \quad e \quad \gamma < 0\)
- \(a = 1, \beta = 0 \quad e \quad \gamma > 0\)
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Gabarito
A
Comentário do professor
Um estimador é coerente se satisfaz dois limites: \(\lim_{n\to\infty} E(t)=\theta\) e \(\lim_{n\to\infty} Var(t)=0\).
Como \(\varepsilon\sim N(\beta,n^\gamma)\), tem-se \(E(\varepsilon)=\beta\) e \(Var(\varepsilon)=n^\gamma\).
Daí \(E(t)=E(a\theta+\varepsilon)=a\theta+\beta\). Para que \(\lim_{n\to\infty}E(t)=\theta\) é necessário que \(a=1\) e \(\beta=0\), pois caso contrário a esperança não converge para \(\theta\).
Além disso \(Var(t)=Var(\varepsilon)=n^\gamma\). Para que \(\lim_{n\to\infty}Var(t)=0\) é preciso que \(\gamma<0\), já que somente assim \(n^\gamma\to0\) quando \(n\to\infty\).
Portanto, as condições \(a=1\), \(\beta=0\) e \(\gamma<0\) garantem a coerência de \(t\).
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