Considere as afirmativas abaixo concernentes á estimação pontual de estimadores. I - \(S_{n}^2={1\over n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2\) é um estimador assintoticamente não tendencio

Gabarito

B

Comentário do professor

Considerando uma amostra i.i.d., a afirmação I vem de calcular \(E(S_n^2)\). Temos \(S_n^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2\) e sabe‑se que \(E(S_n^2)=\sigma^2\left(1-\frac{1}{n}\right)\). Logo \(\lim_{n\to\infty}E(S_n^2)=\sigma^2\), ou seja, \(S_n^2\) é assintoticamente não tendencioso para a variância populacional.

A afirmação II baseia‑se na relação do erro quadrático médio: \(MSE(\widehat\theta_n)=Var(\widehat\theta_n)+Bias(\widehat\theta_n)^2\). Se \(\lim_{n\to\infty}Bias(\widehat\theta_n)=0\) e \(\lim_{n\to\infty}Var(\widehat\theta_n)=0\), então \(MSE\to0\), o que implica \(\widehat\theta_n\) converge em probabilidade para \(\theta\). Assim \(\widehat\theta_n\) é consistente.

A afirmação IV exige calcular \(E(\widehat\theta_n)\) para \(\widehat\theta_n=\frac{2}{n(n+1)}\sum_{k=1}^n kX_k\). Pela linearidade, \(E(\widehat\theta_n)=\frac{2\mu}{n(n+1)}\sum_{k=1}^n k\) e como \(\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}{2}\) segue \(E(\widehat\theta_n)=\mu\). Portanto \(\widehat\theta_n\) é não tendencioso para a média populacional.