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Questão FC624085

Considere uma amostra aleatória de uma população normal com média μ e variância σ2 desconhecidas. Nesse contexto, considere as afirmativas abaixo. I - O estimador de máxima verossi

Característica dos Estimadores

CESGRANRIO · 2013

Considere uma amostra aleatória de uma população normal com média μ e variância σ2 desconhecidas.

Nesse contexto, considere as afirmativas abaixo.

I - O estimador de máxima verossimilhança de σ2 é não viesado.

II - O estimador pelo método dos momentos de σ2 é viesado, mas não viesado assintoticamente.

III - O estimador pelo método dos momentos de μ é não viesado.

Está correto o que se afirma em

  1. I, apenas
  2. III, apenas
  3. I e II, apenas
  4. II e III, apenas
  5. I, II e III
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Gabarito

D

Comentário do professor

A alternativa correta afirma que II e III estão corretas. Abaixo, a justificativa direta.

Item III: o estimador pelo método dos momentos para \( \mu \) é a média amostral \( \bar X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \). Como \( E(\bar X)=\mu \), esse estimador é não viesado.

Item II: usando o segundo momento em relação à origem, \(E(X^2)=\mu^2+\sigma^2\), igualamos ao momento amostral \(m_2=\frac{1}{n}\sum X_i^2\) e obtemos \( \hat\sigma^2_{MM}=m_2-\bar X^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar X)^2\). Calcula-se \(E(\hat\sigma^2_{MM})=\frac{n-1}{n}\sigma^2\), logo é viesado (subestima), mas como \(\frac{n-1}{n}\to1\) quando \(n\to\infty\), é assintoticamente não viesado.

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