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Questão FC624091

Para se estimar a média de uma população com desvio padrão 15, foi retirada uma amostra de tamanho n, obtendo-se o seguinte intervalo de confiança: P(7,06 ≤ \(\mu\) ≤12,94) = 0,95

Intervalos de Confiança

CESGRANRIO · 2013

Para se estimar a média de uma população com desvio padrão 15, foi retirada uma amostra de tamanho n, obtendo-se o seguinte intervalo de confiança:

P(7,06 ≤ \(\mu\) ≤12,94) = 0,95

Sendo os valores críticos tabelados z 0,05 = 1,65 e z 0,025 = 1,96, o tamanho da amostra n e o erro padrão da estimativa \(EP(\bar {X}_n)\) são dados por

  1. n = 100 e \(EP(\bar {X}_{100}) = 1,5\)
  2. n = 100 e \(EP(\bar {X}_{100}) = 2,94\)
  3. n = 81 e \(EP(\bar {X}_{81}) = 1,5\)
  4. n = 71 e \(EP(\bar{X}_{71}) = 2,94\)
  5. n = 71 e \(EP(\bar {X}_{71}) = 1,5\)
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Gabarito

A

Comentário do professor

O intervalo simétrico indica que os extremos obedecem \( \bar{X}\pm Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \). Aqui os limites são 7,06 e 12,94, portanto a média amostral é \( \bar{X}=(7{,}06+12{,}94)/2=10 \) e a meia-amplitude (erro máximo) é \(12{,}94-10=2{,}94\).

Igualando a meia-amplitude à expressão teórica: \(Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=2{,}94\). Como o nível de confiança é 95%, usamos \(Z_{0{,}025}=1{,}96\) e \( \sigma=15\). Assim \(1{,}96\cdot\frac{15}{\sqrt{n}}=2{,}94\).

Da equação segue \(\sqrt{n}=\dfrac{1{,}96\cdot15}{2{,}94}=10\), logo \(n=100\). O erro padrão da média fica \(EP(\bar{X}_{100})=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{15}{10}=1{,}5\).

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