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Questão FC624094

Se oito produtos do tipo 1 e dois produtos do tipo 2 serão comprados amanhã, qual é o intervalo de confiança com nível de significância de 5% para o custo dessa compra?

Intervalos de Confiança

CESGRANRIO · 2012

As variáveis X1 e X2 caracterizam os preços, em reais, que dois produtos, produto do tipo 1 e produto do tipo 2, respectivamente, terão amanhã. Tais preços seguem uma distribuição normal bivariada com E(X1) = 10, E(X2) = 25, Var(X1) = 2, Var(X2) = 1 e Cov(X1,X2) = 2.

Se oito produtos do tipo 1 e dois produtos do tipo 2 serão comprados amanhã, qual é o intervalo de confiança com nível de significância de 5% para o custo dessa compra?

  1. [107,48; 152,52]
  2. [113,84; 146,16]
  3. [116,14; 143,86]
  4. [106,90; 153,10]
  5. [102,56; 157,44]
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Gabarito

Errado

Comentário do professor

Como \(X_1\) e \(X_2\) são normais, o total \(X = 8X_1+2X_2\) também é normal. Calculamos primeiro a esperança e a variância de \(X\).

Esperança: \(E(X)=8E(X_1)+2E(X_2)=8\cdot10+2\cdot25=130.\)

Variância: \(Var(X)=8^2Var(X_1)+2^2Var(X_2)+2\cdot8\cdot2\cdot Cov(X_1,X_2)\) \(=64\cdot2+4\cdot1+32\cdot2=196.\)

Logo, \(\sigma=\sqrt{196}=14\). Para nível de significância \(5\%\) usamos o quantil \(Z_{0,025}=1,96\) da normal padrão, obtendo a banda central de probabilidade

\(130\pm 1,96\cdot14 = 130\pm27,44\), ou seja, o intervalo \([102,56\,;157,44]\).

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