Questão FC624095
Qual o tamanho mínimo n, de cada amostra, necessário para que as duas médias amostrais difiram por menos de 0,5 com 95% de probabilidade?
Intervalos de Confiança
CESGRANRIO · 2012
Sejam \(\overline{X_n}\) e \(\overline{X_n}\) as médias de duas amostras de mesmo tamanho n retiradas de duas populações independentes. A média \(\overline{X_n}\) é é obtida de uma população normal com média 5 e variância 1; já a média \(\overline{Y_n}\) é obtida de uma população normal com média 5 e variância 2.
Qual o tamanho mínimo n, de cada amostra, necessário para que as duas médias amostrais difiram por menos de 0,5 com 95% de probabilidade?
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Gabarito
D
Comentário do professor
As duas médias amostrais têm mesmas médias (\(\mu_X=\mu_Y=5\)) e variâncias amostrais \(\operatorname{Var}(\bar X_n)=1/n\) e \(\operatorname{Var}(\bar Y_n)=2/n\).
Portanto a diferença \(\bar X_n-\bar Y_n\) tem média zero e variância \(\dfrac{3}{n}\), com erro padrão \(\sqrt{3/n}\).
Queremos \(P(|\bar X_n-\bar Y_n|<0{,}5)=0{,}95\). Padronizando: \(P\!\left(|Z|<\dfrac{0{,}5}{\sqrt{3/n}}\right)=0{,}95\). O valor crítico para 95% é \(1{,}96\), logo \(\dfrac{0{,}5}{\sqrt{3/n}}=1{,}96\).
Resolvendo: \(\sqrt{3/n}=\dfrac{0{,}5}{1{,}96}\) e assim \(n=3\left(\dfrac{1{,}96}{0{,}5}\right)^2\approx 46{,}10\). Como se busca o tamanho mínimo inteiro, obtemos \(n\approx 46\).
Gabarito: D (46)
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