Questão FC624096
Uma amostra aleatória de tamanho n deve ser extraída de uma população infinita a fim de se estimar a proporção da população, \(\pi = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N Y_i\), por meio da esta
Intervalos de Confiança
CESGRANRIO · 2018
Uma amostra aleatória de tamanho n deve ser extraída de uma população infinita a fim de se estimar a proporção da população, \(\pi = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N Y_i\), por meio da estatística Proporção da Amostra, \(p = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i\), sendo \(Y_i\) uma variável aleatória Bernoulli ( \(\pi\)).
Na falta de conhecimento prévio da variância do estimador, optou-se por calcular o tamanho da amostra conservador, considerando uma variância máxima, para um nível de confiança de aproximadamente 95%, e um erro amostral absoluto máximo de um ponto percentual. Com esses parâmetros, o valor mais aproximado para o tamanho final da amostra é
- 50
- 200
- 500
- 10.000
- 20.000
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Gabarito
D
Comentário do professor
A margem de erro para a proporção é dada por \(E = Z_{1-\alpha/2}\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\). Para confiança de aproximadamente 95% temos \(Z\approx 1{,}96\).
Na ausência de informação sobre \(p\) usa-se a variância máxima, isto é \(p(1-p)=0{,}25\) (ocorre em \(p=0{,}5\)). Tomando o erro absoluto máximo \(E=0{,}01\), isolamos \(n\):
\(0{,}01 = 1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}25}{n}}\)
\(\Rightarrow n = \dfrac{1{,}96^2\times 0{,}25}{0{,}01^2} = 9604.\)
Como o tamanho da amostra deve ser inteiro e costuma-se arredondar para garantir o erro, adota‑se um valor conservador de 10.000.
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