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Questão FC624105

Uma amostra aleatória simples de tamanho n foi extraída de modo independente de uma população com distribuição normal com parâmetros \(\mu\) e \(\sigma\), ambos desconhecidos, a fi

Intervalos de Confiança

CESGRANRIO · 2018

Uma amostra aleatória simples de tamanho n foi extraída de modo independente de uma população com distribuição normal com parâmetros \(\mu\) e \(\sigma\), ambos desconhecidos, a fim de se estimar a variância, \(\sigma^2\), da característica de interesse, Y. O estimador de máxima verossimilhança da amostra foi obtido e expresso por  \(S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(Y_i -\bar{Y})^2}{n}\).

Se X 2inf e X 2sup são os limites inferior e superior da distribuição qui-quadrado com probabilidade (1 – \(\alpha\))100% de se obter um valor entre eles, então para esse nível de confiança, uma estimativa não tendenciosa, por intervalo, para a variância da população é

  1. \((\frac{(\frac{n-1}{n})S^2}{X^2sup} , \frac{(\frac{n-1}{n})S^2}{X^2inf})\)
  2. \((\frac{(n-1)S^2}{X^2sup} , \frac{(n-1)S^2}{X^2inf})\))
  3. \((\frac{(\frac{n}{n-1})S^2}{X^2sup} , \frac{(\frac{n}{n-1})S^2}{X^2inf})\)
  4. \((\frac{n S^2}{X^2sup}, \frac{n S^2}{X^2inf})\)
  5. \((\frac{(n-1)S}{X^2sup}, \frac{(n-1)S}{X^2inf})\)
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Gabarito

D

Comentário do professor

A chave é reconhecer a quantidade pivotal para amostra normal: \( \dfrac{nS^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-1}\), onde \(S^2=\dfrac{\sum_{i=1}^n(Y_i-\bar Y)^2}{n}\) (estimador de máxima verossimilhança) e \(\chi^2_{n-1}\) é a distribuição qui‑quadrado com \(n-1\) graus de liberdade.

Para nível de confiança \(1-\alpha\) existem quantis \(\chi^2_{inf}\) e \(\chi^2_{sup}\) tais que

\(\Pr\!\left(\chi^2_{inf}\le \dfrac{nS^2}{\sigma^2}\le \chi^2_{sup}\right)=1-\alpha.\)

Invertendo a desigualdade (quantis positivos) obtém‑se o intervalo de confiança para a variância:

\(\dfrac{nS^2}{\chi^2_{sup}}\le \sigma^2 \le \dfrac{nS^2}{\chi^2_{inf}},\)

que coincide com a alternativa correta: \(\left(\dfrac{nS^2}{\chi^2_{sup}},\,\dfrac{nS^2}{\chi^2_{inf}}\right)\).

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