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Questão FC624121

Suponha que se deseja testar a hipótese nula de que uma distribuição binomial com n = 5 tem parâmetro p0 contra a hipótese alternativa de que o parâmetro seja p1.Uma só observação

Testes de Hipóteses

CESGRANRIO · 2013

Suponha que se deseja testar a hipótese nula de que uma distribuição binomial com n = 5 tem parâmetro p0 contra a hipótese alternativa de que o parâmetro seja p1.Uma só observação é feita. As distribuições de X sob H0 (hipótese nula) e H1 (hipótese alternativa) são dadas na Tabela abaixo.

 
X 0 1 2 3 4 5
P(X=x/p0) 0,03 0,16 0,31 0,31 0,16 0,03
P(X=x/p1) 0,17 0,36 0,31 0,13 0,03 0,002
 

Fixando o nível de significância a = 3%, o melhor teste de nível a é dado por: rejeite H0, se

  1. X = 4 ou X = 5
  2. X = 0 ou X = 5
  3. X = 0
  4. X = 4
  5. X = 5
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Gabarito

Certo

Comentário do professor

Para obter o melhor teste de nível \(\alpha=0{,}03\) escolhemos uma região de rejeição cujo erro do tipo I satisfaça \(P(\text{rejeitar }H_0\mid H_0)\le 0{,}03\) e que maximize o poder \(P(\text{rejeitar }H_0\mid H_1)\).

Observando a tabela, os únicos valores com \(P(X=x\mid H_0)\le 0{,}03\) são \(X=0\) e \(X=5\), cada um com probabilidade \(0{,}03\). Incluir ambos excederia o nível, pois somariam \(0{,}06\).

Então precisamos escolher entre eles. Comparamos as probabilidades sob \(H_1\): \(P(X=0\mid H_1)=0{,}17\) e \(P(X=5\mid H_1)=0{,}002\). Para maximizar o poder, seleciona-se o valor que dá maior \(P(\cdot\mid H_1)\).

Portanto a melhor região de rejeição de nível \(0{,}03\) é aceitar a regra: rejeitar \(H_0\) se \(X=0\), pois atinge o nível permitido e fornece o maior poder entre as opções admissíveis.

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