Questão FC624149
Considere duas variáveis, X e Y, com as seguintes características: Ambas seguem distribuições normais padronizadas; A covariância entre as variáveis é de 0,70. Considere ainda a re
Regressão
CESGRANRIO · 2016
Considere duas variáveis, X e Y, com as seguintes características:
- Ambas seguem distribuições normais padronizadas;
- A covariância entre as variáveis é de 0,70.
Considere ainda a regressão linear de Y em função de \(E(Y|X) = \beta_0 + \beta_1 X\)
A respeito dos coeficientes \(\beta_0\) e \(\beta_1\) e do R 2 do modelo, tem-se que:
\(\beta_0 = 0, \beta_1 = 0,7 \quad e \quad R^2 < 0,5\)
\(\beta_0 = 0,7, \beta_1 = 0 \quad e \quad R^2 < 0,5\)
\(\beta_0 < 0,5, \beta_1 = 0 \quad e \quad R^2 = 0,7\)
\(\beta_0 = 0 \beta_1 = 0,5 \quad e \quad R^2 = 0,7\)
\(\beta_0 = 0, \beta_1 = R^2 = 0,7\)
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Gabarito
A
Comentário do professor
Como as variáveis são normais padrão, têm média zero e variância unitária. A covariância informada é \( \text{cov}(X,Y)=0{,}7\), logo a correlação é \( \rho=\dfrac{\text{cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}=\dfrac{0{,}7}{1\cdot1}=0{,}7\).
O coeficiente angular da regressão populacional de \(Y\) sobre \(X\) é \( \beta_1=\dfrac{\text{cov}(X,Y)}{\text{Var}(X)}\). Como \(\text{Var}(X)=1\), segue que \( \beta_1=0{,}7\).
O intercepto é dado por \( \beta_0=E(Y)-\beta_1 E(X)\). Com \(E(X)=E(Y)=0\) vem \( \beta_0=0\).
O coeficiente de determinação é \(R^2=\rho^2=0{,}7^2=0{,}49\), portanto \(R^2<0{,}5\).
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