Questão FC624168
Os modelos abaixo foram propostos e ajustados a 30 observações de quatro variáveis de interesse: Modelo I: \(Y_i=\beta_1+\beta_2X_{2i}+\epsilon_i\) Modelo II: \(Y_i=\beta_1+\beta_2
Coeficiente de Determinação na Regressão Múltipla e estatística F
CESGRANRIO · 2014
Os modelos abaixo foram propostos e ajustados a 30 observações de quatro variáveis de interesse:
Modelo I: \(Y_i=\beta_1+\beta_2X_{2i}+\epsilon_i\)
Modelo II: \(Y_i=\beta_1+\beta_2X_{2i}+\beta_3X_{3i}+\beta4X_{4i}+\epsilon_i\)
Os seguintes resultados são obtidos:
- \(\sum_{i=1}^{30}(Y_i-\bar{Y})^2=160\)
- \(\sum_{i=1}^{30}(X_{2i}-\bar{X}_{2})^2=10\)
- \(\widehat{\beta}_2=-2\) (para o Modelo I)
- \(R^2=0,70\) (para o Modelo II)
O valor da estatística F usada para testar se os parâmetros \(\beta_3\) e \(\beta_4\) são ambos nulos é
- inferior a 15
- superior ou igual a 15, mas inferior a 18
- superior ou igual a 18, mas inferior a 21
- superior ou igual a 21, mas inferior a 24
- superior ou igual a 24
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Queremos testar \(H_0: \beta_3=\beta_4=0\) usando a estatística de Fisher \( \) para restrições de \(q\) parâmetros:
F = \(\dfrac{(R^2_{ur}-R^2_{r})/q}{(1-R^2_{ur})/(n-k-1)}\), onde R^2_{ur} é do modelo II, R^2_{r} do modelo I, q=2, n=30 e \(k=3\).
Calculamos \(R^2_{r}\) a partir de \(\hat\beta_2 = r\,(s_y/s_x)\). Assim \(r^2=\hat\beta_2^2\,(s_x^2/s_y^2)=(-2)^2\,(10/160)=4\cdot\frac{1}{16}=0{,}25\).
Substituindo: numerador \((0{,}70-0{,}25)/2=0{,}225\); denominador \((1-0{,}70)/(30-3-1)=0{,}30/26\approx0{,}011538\). Logo \(F=0{,}225/0{,}011538\approx19{,}5\).
Portanto, a estatística \(F\) é aproximadamente 19,5, ou seja, está superior ou igual a 18, mas inferior a 21, confirmando a alternativa C.
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