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Questão FC624169

Suponha que o modelo explicativo para a variável Y seja Yi = \(\beta\)1 + \(\beta\)2Xi + \(\beta\)3X2i + \(\beta\)4X3i + u1i , modelo explicativo 0, onde Y é a variável dependente;

Regressão

CESGRANRIO · 2024

Suponha que o modelo explicativo para a variável Y seja Yi = \(\beta\)1 + \(\beta\)2Xi + \(\beta\)3X2i + \(\beta\)4X3i + u1i , modelo explicativo 0, onde Y é a variável dependente; X, a variável explicativa; \(\beta\)1, \(\beta\)2, \(\beta\)3 e \(\beta\)4 , os coeficientes da regressão; \(u\), o termo de erro, e o subscrito \(i\) indica a i-ésima observação. No entanto, considere que, por diversos motivos, o pesquisador decida estimar outros modelos (equações 1, 2, 3 e 4), cujas notações foram alteradas para distingui-los do modelo explicativo verdadeiro (modelo explicativo 0):

(1)\(Y_i = \alpha_1 + \alpha_2 X_i + \alpha_3X^2_I + U_{2i}\) (2) \(Y_i = \lambda_1 + \lambda_2X_i + \lambda_3X^2_i + \lambda_4X^3_i + \lambda_5X^4_i + u_{3i}\) (3) \(InY_i=\phi_1 + \phi X_i+\phi_3 X^2_i + \phi_4 X^3_i + u_{4i}\) (4) \(Y*_i=\beta*_1 + \beta_2 X*_i + \beta_3 x*2_i + \beta_4 X*3+u*\)

 

Essa decisão poderia levar a erros de especificação, já que os modelos 1, 2, 3 e 4 são diferentes do modelo explicativo verdadeiro (modelo equação 0), o que permite concluir que

  1. os erros de medida na equação 4 (considerando que \(Y*_i=Y_i+\epsilon_i\) e \(X*_i+w_i\) , onde \(\epsilon_i\) e \(w_i\)são erros de medida) podem ser resultado de dados não acurados, causados por estimativas extrapoladas, interpoladas ou arredondadas de forma sistemática; por falta de respostas em questionário; erros de cálculos e outros problemas, sendo sua presença na variável dependente mais grave porque os estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) são viesados, inconsistentes e ineficientes.
  2. os modelos representados pelas equações 1 e 3 incorrem no problema de variável relevante omitida, com graves consequências para os estimadores que podem ser inconsistentes, viesados e com variâncias e erros-padrão estimados incorretamente.
  3. no modelo representado pela equação 2, o erro de especificação está relacionado à inclusão de variável relevante X4.
  4. considerando que, na equação \(4,Y*_i=Y_I+\epsilon_i\) e \(X*_i = X_i + w_i\) , onde \(\epsilon_i\) e \(w_i\) são erros de medida, a presença desses erros nas variáveis explicativas pode levar a estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) viesados e inconsistentes, enquanto os erros de medida apenas na variável dependente conservam algumas propriedades dos estimadores, embora eles sejam menos eficientes.
  5. quando comparados ao modelo explicativo 0, os modelos das equações 1 e 3 incorrem no problema de omissão de variável relevante, enquanto o modelo da equação 4 (considerando que \(Y*_i=Y_I+\epsilon_i\) e \(X*_i = X_i + w_i\), onde \(\epsilon_i\) e \(w_i\) são erros de medida) retrata a possível ocorrência de erros de medida na variável dependente e nas variáveis explicativas.
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Gabarito

D

Comentário do professor

Considere \(Y^*_i=Y_i+\epsilon_i\) e \(X^*_i=X_i+w_i\), com \(\epsilon_i\) e \(w_i\) erros de medida. Se o erro estiver nas **variáveis explicativas** (isto é, \(w_i\neq0\)), mesmo no caso clássico ( \(w_i\) não correlacionado com \(X_i\) e com o termo de erro), o estimador MQO sofre **viés de atenuação**: os coeficientes de inclinação tendem a ser puxados em direção a zero e o MQO torna‑se **inconsistente** (plim diferente do verdadeiro parâmetro).

Por outro lado, erros de medida apenas na **variável dependente** (\(\epsilon_i\neq0\) mas \(w_i=0\)), assumindo que \(\epsilon_i\) é não correlacionado com os regressores, não introduzem viés nos coeficientes: o MQO permanece **consistente e não viesado**, porém a variância do erro aumenta. Isso torna os estimadores **menos eficientes** e reduz o poder dos testes.

Em suma: erro em \(X\) é mais prejudicial (viés e inconsistência); erro em \(Y\) eleva ruído e reduz eficiência. Métodos como variáveis instrumentais ou modelos de erros‑em‑variáveis são soluções quando \(w_i\) existe.

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