Questão FC624170
Considere o modelo de regressão linear múltipla com intercepto, da variável dependente Y sobre as p variáveis independentes (X 1, X 2, ..., X p), na forma matricial: E(Y) = X. \(\b
Regressão
CESGRANRIO · 2018
Considere o modelo de regressão linear múltipla com intercepto, da variável dependente Y sobre as p variáveis independentes (X 1, X 2, ..., X p), na forma matricial:
E(Y) = X. \(\beta\)
Utilizando uma amostra de tamanho n, obtemos o estimador dos mínimos quadrados ordinários \(\hat{\beta} = (X^TX)^{-1}X^TY\). Os valores estimados de \(Y, \hat{Y} = X\hat{\beta}\), podem ser expressos por meio de \(\hat{Y} = X.(X^TX)^{-1}X^TY\). Fazendo \(H = X.(X^TX)^{-1}X^T\), tem-se \(\hat{Y} = H.Y\), sendo a matriz n x n, H, denominada matriz de projeção, isto é, a matriz que projeta o vetor das observações amostrais, Y, no espaço dos valores estimados \(\hat{Y}\). Diante das considerações feitas acima, observe as afirmações a seguir.:
I - H é uma matriz idempotente.
II - \(\sum_{i=1}^n h_{II}\) = rank(X) = p, onde \(h_{ii}\) é o i o elemento da diagonal da matriz H.
III - H.(I – H) = O, onde I é a matriz identidade e O, a matriz nula.
IV - e = (I – H).Y, onde e é o vetor dos resíduos amostrais.
Está correto o que se afirma em:
- I, II e III, apenas
- I, II e IV, apenas
- I, III e IV, apenas
- II, III e IV, apenas
- I, II, III e IV
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
A afirmação está correta porque a matriz \(H = X(X^TX)^{-1}X^T\) é a matriz de projeção sobre o espaço coluna de \(X\).
Primeiro, \(H\) é idempotente: pela transposição e multiplicação de matrizes, \(H^T=H\) e \(H^2 = X(X^TX)^{-1}X^T X (X^TX)^{-1}X^T = X(X^TX)^{-1}X^T = H\), logo \(H\cdot H = H\).
Em seguida, multiplicando por \((I-H)\) obtemos \(H(I-H) = H - H^2 = H - H = 0\), isto é, \(H(I-H)\) é a matriz nula.
Finalmente, os resíduos amostrais vêm de \(e = Y - \hat{Y} = Y - HY\), portanto \(e = (I-H)Y\), mostrando a relação entre resíduos e a projeção.
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