Questão FC624172
Ao estudar a relação entre duas variáveis X e Y, um pesquisador percebe uma relação não linear entre elas e propõe o seguinte modelo: \(y_i=\alpha+\beta X_{i}^3+ \epsilon_i\) para
Regressão
CESGRANRIO · 2014
Ao estudar a relação entre duas variáveis X e Y, um pesquisador percebe uma relação não linear entre elas e propõe o seguinte modelo:
\(y_i=\alpha+\beta X_{i}^3+ \epsilon_i\) para \(i=1,2,3,...,n.\)
Os estimadores de mínimos quadrados para os parâmetros \(\alpha\) e \(\beta\), respectivamente \(\widehat{\alpha}\) e \(\widehat{\beta}\), são soluções da equação matricial
- \(\begin{bmatrix} n & \sum x_i^3 \\ \sum x_i^3 & \sum x_i^6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat \alpha \\ \hat \beta \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \sum y_i \\ \sum y_i x_i^3 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} n & \sum x_i^2 \\ \sum x_i^2 & \sum x_i^3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat \alpha \\ \hat \beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sum y_i \\ \sum y_i x_i^3 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} n & \sum x_i^2 \\ \sum x_i^2 & \sum x_i^3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat \alpha \\ \hat \beta \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \sum y_i x_i^2\\ \sum y_i x_i^3 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} n & \sum x_i^3 \\ \sum x_i^3 & \sum x_i^6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat \alpha \\ \hat \beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sum y_i x_i^3 \\ \sum y_i x_i^6 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} n & \sum x_i^3 \\ \sum x_i^3 & \sum x_i^6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat \alpha \\ \hat \beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sum y_i x_i \\ \sum y_i x_i^3 \end{bmatrix}\)
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Gabarito
A
Comentário do professor
Pelo método dos mínimos quadrados minimizamos \(L(\alpha,\beta)=\sum_{i=1}^n (y_i-\alpha-\beta x_i^3)^2\). As condições de otimalidade vêm das derivadas parciais iguais a zero.
Derivando e igualando a zero obtém-se as equações normais: \(\sum_{i=1}^n (y_i-\hat\alpha-\hat\beta x_i^3)=0\) e \(\sum_{i=1}^n (y_i-\hat\alpha-\hat\beta x_i^3)x_i^3=0\).
Rearranjando essas somas chega-se ao sistema linear
\(n\hat\alpha+\hat\beta\sum x_i^3=\sum y_i\)
\(\hat\alpha\sum x_i^3+\hat\beta\sum x_i^6=\sum y_i x_i^3\).
Escrevendo em forma matricial temos a representação compacta das equações normais:
\(\begin{bmatrix} n & \sum x_i^3 \\ \sum x_i^3 & \sum x_i^6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat \alpha \\ \hat \beta \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \sum y_i \\ \sum y_i x_i^3 \end{bmatrix}\).
Esta matriz é \(X'X\) para o modelo com coluna de 1s e coluna \(x^3\), e o vetor à direita é \(X'Y\).
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