Questão FC624175
a função y(x) é contínua e não decrescente; para quaisquer dois pontos do gráfico y(x), o segmento de reta conectando-os se situa estritamente abaixo da curva y(x), ou seja, a funç
Regressão
CESGRANRIO · 2014
Com o objetivo de modelar a relação entre duas variáveis do campo energético, X e Y, um pesquisador observou que a função y(x) que melhor se ajustava aos dados quando 0 < x ≤ 30 possuía as seguintes propriedades:
- a função y(x) é contínua e não decrescente;
- para quaisquer dois pontos do gráfico y(x), o segmento de reta conectando-os se situa estritamente abaixo da curva y(x), ou seja, a função é côncava.
Qual das funções abaixo pode representar a parte determinística do modelo de regressão para os dados observados?
- \(y(X)=\alpha,\) com \(\alpha\) uma constante positiva.
- \(y(X)=\alpha+\beta X,\) com \(\alpha\) e \(\beta\) constantes positivas.
- \(y(X)=\alpha+\beta\sqrt{X^3},\) com \(\alpha\) e \(\beta\) constantes positivas.
- \(y(X)=\alpha+ \beta X^2\), com \(\alpha\) e \(\beta\) constantes positivas.
- \(\alpha + \beta \ln (1+x)\), com \(\alpha\) e \(\beta\) constantes positivas.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
A função escolhida é \(y(x)=\alpha+\beta\ln(1+x)\) com \(\alpha,\beta>0\).
Ela é contínua em \(0 porque \ln(1+x)\) é contínua nesse intervalo e bem definida em \(x=0\) (limite igual a zero).
Calculando a primeira derivada obtém-se \(y'(x)=\dfrac{\beta}{1+x}\). Como \(\beta>0\) e \(1+x>0\), temos \(y'(x)>0\), portanto a função é não decrescente (estritamente crescente nesse domínio).
A segunda derivada é \(y''(x)=-\dfrac{\beta}{(1+x)^2}\), que é sempre negativa. Assim, a curva é côncava para baixo, o que garante que qualquer segmento de reta entre dois pontos do gráfico fica estritamente abaixo da curva.
Portanto, com \(\alpha,\beta>0\) essa função satisfaz as propriedades exigidas.
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