Questão FC624187

Suponha o seguinte modelo MA(1): yt = ut + a1(ut-1) em que ut é um ruído branco cuja variância é igual a \(\sigma^2\). Assim, a variância incondicional e as autocorrelações de prim

Análise de Séries Temporais

Suponha o seguinte modelo MA(1):

y_t = u_t + a₁(u_t-1)

em que ut é um ruído branco cuja variância é igual a \(\sigma^2\).

Assim, a variância incondicional e as autocorrelações de primeira e de segunda ordens são iguais, respectivamente, a

\(a_1\sigma^2 , a_1/(1 + a_1 ^2) \quad e \quad 0\)
\((1 + a_1^2)\sigma^2 , a_1/(1 + a_1^2) \quad e \quad 0\)
\((1 + a_1^2) \sigma^2, 0 \quad e \quad 0\)
\((1 + a_1^2)\sigma^2, a_1 \quad e \quad a_1^2\)
\((1 + a_1 ^2)\sigma^2 , a_1/(1 + a_1) \quad e \quad 0\)

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Gabarito

Partindo do modelo \(y_t=u_t+a_1u_{t-1}\) com \(u_t\) ruído branco de variância \(\sigma^2\) e média zero, a variância incondicional é

\(Var(y_t)=Var(u_t)+Var(a_1u_{t-1})=\sigma^2+a_1^2\sigma^2=(1+a_1^2)\sigma^2\).

Para a autocovariância de defasagem 1 calculamos

\(\gamma_1=Cov(y_t,y_{t-1})=E[(u_t+a_1u_{t-1})(u_{t-1}+a_1u_{t-2})]=a_1E[u_{t-1}^2]=a_1\sigma^2\).

A autocorrelação de ordem 1 é \(\rho_1=\gamma_1/\gamma_0=\dfrac{a_1\sigma^2}{(1+a_1^2)\sigma^2}=\dfrac{a_1}{1+a_1^2}\).

Para defasagens maiores que 1 todas as autocovariâncias são nulas, logo \(\rho_2=0\).

Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em 17/04/2026