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Questão FC624189

Seja {Zt, t ≥ 0} uma série temporal tal que para todo t ≥ 0, E[Z t ] = 0 e E[Z 2t ] = t. Além disso, suponha que para todo 0 ≤ s < t, Zt − Zs e Zs sejam independentes. Assim o coef

Análise de Séries Temporais

CESGRANRIO · 2012

Seja {Zt, t ≥ 0} uma série temporal tal que para todo t ≥ 0, E[Z t ] = 0 e E[Z 2t ] = t. Além disso, suponha que para todo 0 ≤ s < t, Zt − Zs e Zs sejam independentes.

Assim o coeficiente de correlação entre Z27 e Z48 é dado por

  1. 0%
  2. 43,75%
  3. 56,25%
  4. 75%
  5. 77,78%
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Gabarito

D

Comentário do professor

Do enunciado temos \(E[Z_t]=0\), \(Var(Z_t)=t\) e que os incrementos são independentes dos valores passados. Essas propriedades caracterizam um somatório de incrementos independentes com variância unitária.

Para \(0\le sCov\((Z_s,Z_t)=\) Cov\((Z_s,Z_s)+\) Cov\((Z_s,Z_t-Z_s)\). Pela independência o segundo termo é zero, ficando Cov\((Z_s,Z_t)=Var(Z_s)=s\).

Tomando \(s=27\) e \(t=48\) obtemos \(Cov(Z_{27},Z_{48})=27\).

A correlação é \(\rho=\dfrac{Cov(Z_{27},Z_{48})}{\sqrt{Var(Z_{27})Var(Z_{48})}}=\dfrac{27}{\sqrt{27\cdot48}}=\sqrt{\dfrac{27}{48}}=\sqrt{\dfrac{9}{16}}=\dfrac{3}{4}=0{,}75.\)

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