Questão FC624195
Um analista de planejamento utilizou um modelo ARMA(1,1) para estimar a safra de grãos (w) anual para determinada cidade no interior do Mato Grosso do Sul. O modelo usado é escrito
Análise de Séries Temporais
CESGRANRIO · 2024
Um analista de planejamento utilizou um modelo ARMA(1,1) para estimar a safra de grãos (w) anual para determinada cidade no interior do Mato Grosso do Sul. O modelo usado é escrito da seguinte forma:
\(w_t = \alpha w_{t-1} + \beta e_{t-1}+e_t\),
em que et é um ruído branco com média zero e variância σ2. Desse modo, esse modelo é estacionário de segunda ordem se, e somente se,
- |\(\alpha\)|>1 e |\(\beta\)|>1
- |\(\alpha\)|>1 e |\(\beta\)|<1
- |\(\alpha\)|<1 e |\(\beta\)|>1
- |\(\alpha\)|<1 e |\(\beta\)|<1
- não depender de \(\alpha\) e \(\beta\)
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Gabarito
D
Comentário do professor
O modelo é \(w_t=\alpha w_{t-1}+\beta e_{t-1}+e_t\). Para que ele seja de segunda ordem estacionário é necessário que exista uma representação causal em soma dos choques passados com coeficientes absolutamente somáveis.
Essa condição é atendida quando o polinômio autoregressivo tem raízes fora do círculo unitário, o que equivale a \( |\alpha|<1\). Com isso obtemos uma expressão \(w_t=\sum_{j\ge0}\psi_j e_{t-j}\) com \(\sum_j|\psi_j|<\infty\), garantindo média constante e variância finita.
Adicionalmente, impor \( |\beta|<1\) assegura a invertibilidade da parte MA(1), ou seja, a existência de uma representação única em termos de choques passados e evita parametrizações equivalentes. Assim, a dupla condição \( |\alpha|<1\) e \( |\beta|<1\) garante um processo estável, causal e invertível.
Portanto a alternativa correta é a que exige \( |\alpha|<1\) e \( |\beta|<1\).
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