Questão FC624251
A partir do Teorema Central do Limite, qual a probabilidade aproximada de que a soma de 48 números gerados exceda a 26?
Lei dos Grandes Números e Teorema do Limite Central
CESGRANRIO · 2013
Um gerador de números aleatórios de um computador produz números independentes com distribuição uniforme no intervalo [0,1].
A partir do Teorema Central do Limite, qual a probabilidade aproximada de que a soma de 48 números gerados exceda a 26?
- 15,87%
- 30,85%
- 42,86%
- 69,15%
- 84,13%
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Gabarito
A
Comentário do professor
Sejam \(X_1,\dots,X_{48}\) independentes e identicamente distribuídas uniformes em \([0,1]\) e \(S_{48}=\sum_{i=1}^{48}X_i\). Pelo Teorema Central do Limite, a soma padronizada converge em distribuição para uma normal padrão.
A média de cada \(X_i\) é \(\mu=1/2\) e a variância é \(\sigma^2=1/12\). Assim o desvio padrão da soma é \(\sigma\sqrt{n}=(1/\sqrt{12})\sqrt{48}=2\).
Padronizando: \(Z=\dfrac{S_{48}-48\mu}{\sigma\sqrt{48}}=\dfrac{S_{48}-24}{2}\). Para \(S_{48}>26\) temos \(Z>1\).
Portanto \(P(S_{48}>26)\approx P(Z>1)=1-\Phi(1)=0{,}1587\), isto é, aproximadamente 15,87%.
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