Questão FC624252
As variáveis aleatórias X1, X2 , X3 , ... são independentes e identicamente distribuídas, com distribuição uniforme no intervalo (0, 1), e \(Y_n = \sqrt{\sqrt{X_1}+ \sqrt {X_2} +..
Lei dos Grandes Números e Teorema do Limite Central
CESGRANRIO · 2013
As variáveis aleatórias X1, X2 , X3 , ... são independentes e identicamente distribuídas, com distribuição uniforme no intervalo (0, 1), e
\(Y_n = \sqrt{\sqrt{X_1}+ \sqrt {X_2} +...+ \sqrt {X_n} \over n}\), para n = 1, 2, 3,...
A Lei Forte dos Grandes Números nos permite afirmar que o limite quase certo da sequência {Yn, n ≥ 1} é
\(\infty\)
\(\sqrt {2 \over 2}\)
\(\sqrt {2 \over 3}\)
\(\sqrt [4]{2 \over 3}\)
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Temos \(Y_n=\sqrt{\dfrac{\sqrt{X_1}+\sqrt{X_2}+\cdots+\sqrt{X_n}}{n}}\), logo
\(Y_n^2=\dfrac{\sqrt{X_1}+\sqrt{X_2}+\cdots+\sqrt{X_n}}{n}\).
Pela Lei Forte dos Grandes Números, a média amostral converge quase certamente para a esperança de \(\sqrt{X_i}\):
\(\dfrac{\sqrt{X_1}+\cdots+\sqrt{X_n}}{n}\xrightarrow{\text{q.s.}} E(\sqrt{X_i}).
Para \(X_i\sim\text{Uniform}(0,1)\) com densidade \(f(x)=1\) em \((0,1)\),
\(E(\sqrt{X_i})=\int_0^1 x^{1/2}\,dx=\left.\dfrac{2}{3}x^{3/2}\right|_0^1=\dfrac{2}{3}.\)
Portanto \(Y_n^2\xrightarrow{\text{q.s.}}\tfrac{2}{3}\). Como \(Y_n\ge 0\) e a função raiz quadrada é contínua, segue
\(Y_n\xrightarrow{\text{q.s.}}\sqrt{\dfrac{2}{3}}\).
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