Questão FC784002
Sejam A1, A2, A3, ... eventos aleatórios mutuamente exclusivos e exaustivos, isto é, os Ai são disjuntos e UAi = \(Ω\), então os eventos Ai formam uma partição do espaço amostral \
Probabilidade
Instituto AOCP · 2021
Sejam A1, A2, A3, ... eventos aleatórios mutuamente exclusivos e exaustivos, isto é, os Ai são disjuntos e UAi = \(Ω\), então os eventos Ai formam uma partição do espaço amostral \(Ω\). Considere o enunciado: “Seja o evento B contido na partição \(Ω\), B \(⊂\) \(Ω\). Então, a probabilidade de ocorrência do evento Aj condicionada à ocorrência do evento B é dada pela expressão:
\(P(A_j \mid B)={\large{P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) \over \sum_{1} P(A_i) \cdot P(B \mid A_i)}}\)
Esse é o enunciado do seguinte teorema:
- Teorema de Bayes.
- Teorema da Probabilidade Total.
- Teorema Central do Limite.
- Teorema da Multiplicação ou da Probabilidade Composta.
- Teorema de Bertrand-Tchebychev.
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Gabarito
A
Comentário do professor
O enunciado corresponde ao Teorema de Bayes, que permite atualizar probabilidades iniciais quando surge uma nova informação. Supondo que os eventos \(A_i\) formem uma partição do espaço amostral (mutuamente exclusivos e exaustivos), a probabilidade de \(A_j\) dado \(B\) é
\(P(A_j\mid B)=\dfrac{P(A_j)\,P(B\mid A_j)}{\sum_i P(A_i)\,P(B\mid A_i)}\).
O denominador é a probabilidade total de \(B\): \(P(B)=\sum_i P(A_i)P(B\mid A_i)\). Assim, a fórmula também pode ser escrita como \(P(A_j\mid B)=\dfrac{P(A_j)P(B\mid A_j)}{P(B)}\).
Interpretando: \(P(A_j)\) é a prior, \(P(B\mid A_j)\) a verossimilhança e \(P(A_j\mid B)\) a posterior. É ferramenta central para tomada de decisão baseada em evidências.
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