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Questão FC784007

Uma urna contém apenas bolas numeradas, todas idênticas, de modo que a única forma de diferenciá-las é pelo seu número. Sabe-se que, se duas bolas forem retiradas ao acaso e sem re

Probabilidade

Instituto AOCP · 2024

Uma urna contém apenas bolas numeradas, todas idênticas, de modo que a única forma de diferenciá-las é pelo seu número. Sabe-se que, se duas bolas forem retiradas ao acaso e sem reposição, a probabilidade de que sejam ambas ímpares é igual a 1/3 e que, se três bolas forem retiradas ao acaso, também sem reposição, a probabilidade de que todas sejam ímpares é igual a 1/6. Diante do exposto, é correto afirmar que

  1. na urna, há 4 bolas ímpares.
  2. na urna, há 6 bolas pares.
  3. o total de bolas na urna é 12.
  4. o total de bolas na urna é 10.
  5. há mais bolas pares que ímpares.
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Gabarito

D

Comentário do professor

Definições: seja I o número de bolas ímpares e N o total de bolas.

A probabilidade de retirar duas ímpares sem reposição é \( \dfrac{\binom{I}{2}}{\binom{N}{2}}=\dfrac{1}{3}\), o que equivale a \(I(I-1)=\dfrac{N(N-1)}{3}\).

A probabilidade de retirar três ímpares sem reposição é \( \dfrac{\binom{I}{3}}{\binom{N}{3}}=\dfrac{1}{6}\), que dá \(I(I-1)(I-2)=\dfrac{N(N-1)(N-2)}{6}\).

Dividindo a segunda igualdade pela primeira cancelam-se \(I(I-1)\) e \(N(N-1)\), obtendo-se \(I-2=\dfrac{N-2}{2}\), logo \(I=\dfrac{N+2}{2}\).

Substituindo em \(I(I-1)=\dfrac{N(N-1)}{3}\) vem \(\left(\dfrac{N+2}{2}\right)\left(\dfrac{N}{2}\right)=\dfrac{N(N-1)}{3}\). Cancelando \(N\) e resolvendo, \( \dfrac{N+2}{4}=\dfrac{N-1}{3}\), logo \(N=10\).

Conclusão: o total de bolas na urna é 10.

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