Questão FC784019
Considere a Análise de Correlação Canônica em que se tem os vetores X e Y de dimensões p e q, respectivamente, com matrizes de covariâncias \(\sum1\) e \(\sum2\), vetores médios \(
Variáveis Aleatórias
Instituto AOCP · 2024
Considere a Análise de Correlação Canônica em que se tem os vetores X e Y de dimensões p e q, respectivamente, com matrizes de covariâncias \(\sum1\) e \(\sum2\), vetores médios \(\underline{\mu}_1\) e \(\underline{\mu}_2\) respectivamente, e matriz de covariância cruzada \(\sum12\). Ainda, tem-se as combinações lineares . Então, é correto afirmar que
- cov(X, Y) = \(\sum 12\) mede a correlação canônica entre os vetores X e Y.
- a soma \(\sum_1 + \sum_2\) é sempre igual a \(\sum_{12}\).
- a correlação entre as combinações lineares U e V é dada por \(\rho (U, V) = { \large \underline{c}_1^{ \prime} \sum12\, \underline{c}_2 \over \sqrt{ \underline{c}_1^{ \prime} \sum 1 \underline{c}_1^{ \prime}} \sqrt{ \underline{c}_2^{ \prime} \sum 2 \underline{c}_2^{ \prime}}}\)
- I, em que I é a matriz identidade.
- as combinações lineares U e V são independentes.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Para as combinações lineares \(U=\underline{c}_1'\,X\) e \(V=\underline{c}_2'\,Y\), a covariância entre elas é dada por \( \operatorname{Cov}(U,V)=\underline{c}_1'\,\sum_{12}\,\underline{c}_2\).
A variância de cada combinação é \(\operatorname{Var}(U)=\underline{c}_1'\,\sum_{1}\,\underline{c}_1\) e \(\operatorname{Var}(V)=\underline{c}_2'\,\sum_{2}\,\underline{c}_2\), cujas raízes quadradas são os desvios-padrão de \(U\) e \(V\).
Assim, a correlação entre \(U\) e \(V\) segue a definição de correlação de Pearson para variáveis escalares: \(\rho(U,V)=\dfrac{\underline{c}_1'\,\sum_{12}\,\underline{c}_2}{\sqrt{\underline{c}_1'\,\sum_{1}\,\underline{c}_1}\,\sqrt{\underline{c}_2'\,\sum_{2}\,\underline{c}_2}}\).
Em outras palavras, a expressão normaliza a covariância cruzada pelas dispersões das combinações, resultando em um valor entre \(-1\) e \(1\).
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