Considere o vetor aleatório X'= [X1 X2] cuja matriz de covariância é \(\sum = { \begin{bmatrix} 1\,\,1,8\\1,8\,\,4 \end{bmatrix}}\) . Então, é correto afirmar que a matriz de corre

Gabarito

D

Comentário do professor

A matriz de correlação \(P\) é obtida a partir da matriz de covariância \(\Sigma\) pela fórmula \(P_{ij}=\dfrac{\Sigma_{ij}}{\sqrt{\Sigma_{ii}\,\Sigma_{jj}}}\). Aplicando a \(\Sigma=\begin{bmatrix}1 & 1{,}8\\[2pt]1{,}8 & 4\end{bmatrix}\), calculamos os elementos.

Para a diagonal: \(P_{11}=\dfrac{\Sigma_{11}}{\sqrt{\Sigma_{11}\Sigma_{11}}}=\dfrac{1}{\sqrt{1\cdot1}}=1\) e \(P_{22}=\dfrac{4}{\sqrt{4\cdot4}}=\dfrac{4}{4}=1\). A diagonal da matriz de correlação é sempre 1.

Para os elementos fora da diagonal: \(P_{12}=P_{21}=\dfrac{\Sigma_{12}}{\sqrt{\Sigma_{11}\Sigma_{22}}}=\dfrac{1{,}8}{\sqrt{1\cdot4}}=\dfrac{1{,}8}{2}=0{,}9\).

Portanto, a matriz de correlação é \(P=\begin{bmatrix}1 & 0{,}9\\[2pt]0{,}9 & 1\end{bmatrix}\), confirmando a alternativa correta.