Suponha as variáveis aleatórias independentes X com distribuição Qui-quadrado com v = 5 graus de liberdade e Y com distribuição Gama com parâmetros \(\alpha\) = 2 e \(\beta\) = 5.

Gabarito

B

Comentário do professor

Calculemos a esperança e a variância de \(W=X+Y\), com \(X\) e \(Y\) independentes.

X: distribuição qui-quadrado com \(v=5\). Assim, \(E(X)=v=5\) e \(\text{Var}(X)=2v=10\).

Y: distribuição Gama com parâmetros de forma \(\alpha=2\) e taxa \(\beta=5\). Para essa parametrização, \(E(Y)=\dfrac{\alpha}{\beta}=\dfrac{2}{5}=0{,}4\) e \(\text{Var}(Y)=\dfrac{\alpha}{\beta^{2}}=\dfrac{2}{25}=0{,}08\).

Como \(X\) e \(Y\) são independentes, usa-se a propriedade da soma: \(E(W)=E(X)+E(Y)\) e \(\text{Var}(W)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)\).

Portanto \(E(W)=5+0{,}4=5{,}4\) e \(\text{Var}(W)=10+0{,}08=10{,}08\).