Questão FC784028
Define-se Função Risco ou Taxa de Falhas da distribuição da variável aleatória t a razão entre a função densidade de probabilidade f(t) e o complemento da função distribuição acumu
Principais Distribuições Contínuas
Instituto AOCP · 2024
Define-se Função Risco ou Taxa de Falhas da distribuição da variável aleatória t a razão entre a função densidade de probabilidade f(t) e o complemento da função distribuição acumulada F(t), ou seja, \(\lambda(t)=\frac{f(t)}{1-F(t)}\). Então, é correto afirmar que
- a Função Risco da distribuição Exponencial com parâmetro \(\theta\) é \(\lambda(t)=\theta\) e a distribuição é dita sem memória.
- a Função Risco da distribuição Exponencial com parâmetro \(\theta\) é \(\lambda(t)=\frac{\theta}{1-t,\theta}\) e essa função depende de t.
- a distribuição Weibull tem função densidade de probabilidade dada \(f(t)=abt^{b-1}e^{-at^b}t\in R+a,b\in R+\) e a sua Função Risco é \(\lambda(t)=bt^b\) com \(t \in r+ a,b \in R+\).
- a distribuição Weibull tem função densidade de probabilidade dada \(f(t)=abt^{b-1}e^{-1at^b}t\in R+ a,b \in R+\) e a sua Função Risco é \(\lambda(t)=bt^{b-1} t\in R+a,b \in R+\).
- a distribuição Weibull tem função densidade de probabilidade dada \(f(t)=abt^{b-1}e^{-at^b}t\in R+a,b \in R+\) e a sua Função Risco é \(\lambda(t)=t^{b-1}t \in R+ a,b \in R+\).
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Gabarito
A
Comentário do professor
Função Risco para a exponencial com parâmetro \(\theta\) obtém-se a partir da densidade e da função de sobrevivência. A densidade é \(f(t)=\theta e^{-\theta t}\) e o complemento da distribuição (sobrevivência) é \(1-F(t)=e^{-\theta t}\).
Calculando \(\lambda(t)=\dfrac{f(t)}{1-F(t)}=\dfrac{\theta e^{-\theta t}}{e^{-\theta t}}=\theta\). Logo, a taxa de falhas é constante e igual a \(\theta\).
Essa constância implica a propriedade de sem memória: para \(s,t\ge0\), \(P(T>s+t\mid T>s)=\dfrac{S(s+t)}{S(s)}=\dfrac{e^{-\theta(s+t)}}{e^{-\theta s}}=e^{-\theta t}=S(t)\). Assim, o restante da vida não depende do tempo já transcorrido, caracterizando a distribuição Exponencial.
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