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Questão FC784033

Seja [X1, X2, ... , Xn] uma amostra aleatória de uma variável aleatória com distribuição normal, com média \(\mu\) e variância \(\sigma^2\), ou seja, \(X \sim N ( \mu, \sigma^2)\),

Característica dos Estimadores

Instituto AOCP · 2024

Seja [X1, X2, ... , Xn] uma amostra aleatória de uma variável aleatória com distribuição normal, com média \(\mu\) e variância \(\sigma^2\), ou seja, \(X \sim N ( \mu, \sigma^2)\), em que os parâmetros são desconhecidos, então, os estimadores uniformemente de mínima variância não viciados, UMVU, da média \(\mu\) e variância \(\sigma^2\) são, respectivamente,

  1. \(\bar{x} = { \large \sum_{i=1}^n X_i \over n}\) e \(\hat{\sigma}^2 = { \large 1 \over n} \sum_{i=1}^n ( x_i - \bar{x})^2\)

  2. \(\bar{x} = { \large \sum_{i=1}^n X_i \over n}\) e \(\hat{\sigma}^2 = { \large 1 \over n -1} \sum_{i=1}^n ( x_i)^2\)

  3. \(\bar{x} = { \large \sum_{i=1}^n X_i \over n}\) e \(\hat{\sigma}^2 = { \large 1 \over n -1} \sum_{i=1}^n ( x_i - \bar{x})^2\)

  4. \(\bar{x} = { \large \sum_{i=1}^n X_i \over n}\) e \(\hat{\sigma}^2 = { \large 1 \over n} \sum_{i=1}^n ( x_i)^2\)

  5. \(\eta = { \large x_1 + x_n \over 2}\) e \(\hat{\sigma}^2 = { \large 1 \over n} \sum_{i=1}^n ( x_i)^2\)

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Gabarito

Certo

Comentário do professor

Resposta correta: os estimadores são \( \bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\) e \(\hat{\sigma}^2=\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2\).

\(\bar{X}\) é não viciado porque \(E[\bar{X}]=\mu\) e tem variância \( \mathrm{Var}(\bar{X})=\sigma^2/n\), mínima entre estimadores lineares da média no modelo normal.

\(\hat{\sigma}^2\) usa a correção por \(n-1\) para ser não viciado, já que \(E[\hat{\sigma}^2]=\sigma^2\). Sem essa correção, o estimador pela soma dos quadrados sobre \(n\) fica viciado.

O par \((\bar{X},\sum (X_i-\bar{X})^2)\) é estatística suficiente e completa para \(N(\mu,\sigma^2)\). Pelo Teorema de Lehmann e Scheffé, quaisquer estimadores não viciados que sejam função dessa estatística são os estimadores uniformemente de mínima variância, portanto \( \bar{X}\) e \(\hat{\sigma}^2\) são os UMVU.

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