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Questão FC784034

Seja a amostra aleatória de variável aleatória X que tem distribuição normal com média \(\mu\) e variância \(\sigma^2, N( \mu, \sigma^2)\), [x1, x2, ... , xn], então, é correto afi

Característica dos Estimadores

Instituto AOCP · 2024

Seja a amostra aleatória de variável aleatória X que tem distribuição normal com média \(\mu\) e variância \(\sigma^2, N( \mu, \sigma^2)\), [x1, x2, ... , xn], então, é correto afirmar que a Variância e o Erro Quadrático Médio do estimador de Máxima Verossimilhança (EMV) do parâmetro \(\sigma_2\) são, respectivamente,

  1. \({ \large \sigma^4 \over n^2} 2 (n -1)\) e \(\left ( { \large 2n -1 \over n^2} \right) \sigma^4\)

  2. \({ \large \sigma^4 \over n^2}\) e \(\left ( { \large 2n -1 \over n^2} \right) \sigma^2\)

  3. \({ \large 2 \sigma^4 \over n^2}\) e \(\left ( { \large 2n -1 \over n^2} \right) \sigma^2\)

  4. \({ \large \sigma^4 \over n^2}\) e \(\left ( { \large n -2 \over n^2} \right) \sigma^2\)

  5. \({ \large \sigma^4 \over n^2} 2 (n -1)\) e \(\left ( { \large 2n -1 \over n^2} \right) \sigma^2\)

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Gabarito

A

Comentário do professor

Para a amostra \(X_1,\dots,X_n\) de \(N(\mu,\sigma^2)\) com \(\mu\) desconhecido, o estimador de máxima verossimilhança é \(\hat{\sigma}^2=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar X)^2\). Importante: \(\dfrac{n\hat{\sigma}^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{\,n-1}\).

Usando \(E[\chi^2_{n-1}]=n-1\) obtemos \(E[\hat{\sigma}^2]=\dfrac{\sigma^2}{n}(n-1)=\dfrac{n-1}{n}\sigma^2\). Assim o viés é \(-\dfrac{\sigma^2}{n}\), mostrando que \(\hat{\sigma}^2\) é viesado.

Como \(\mathrm{Var}(\chi^2_{n-1})=2(n-1)\), segue \(\mathrm{Var}(\hat{\sigma}^2)=\left(\dfrac{\sigma^2}{n}\right)^2 2(n-1)=\dfrac{2(n-1)\sigma^4}{n^2}\).

Finalmente, o Erro Quadrático Médio (MSE) é \(\mathrm{Var}(\hat{\sigma}^2)+\mathrm{Viés}^2=\dfrac{2(n-1)\sigma^4}{n^2}+\left(\dfrac{\sigma^2}{n}\right)^2=\dfrac{(2n-1)\sigma^4}{n^2}\).

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