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Questão FC784035

Seja (X1, X2, ..., Xn) uma amostra aleatória simples retirada de uma variável aleatória X, em que X segue a distribuição Normal, com média \(\mu\) e variância \(\sigma^2\) , ou sej

Característica dos Estimadores

Instituto AOCP · 2026

Seja (X1, X2, ..., Xn) uma amostra aleatória simples retirada de uma variável aleatória X, em que X segue a distribuição Normal, com média \(\mu\) e variância \(\sigma^2\) , ou seja, \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\), com \(\mu\) e \(\sigma^2\) desconhecidos. Então, os estimadores de máxima verossimilhança (EMV) não viesados, para a média \(\mu\) e a variância \(\sigma^2\) são, respectivamente, dados por:

  1. \(\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i}{n} \quad \text{e} \quad \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2\)
  2. \(\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i}{n} \quad \text{e} \quad s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2\)
  3. \(\bar{x} = \frac{x_{(1)} + x_{(n)}}{2} \quad \text{e} \quad \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2\)
  4. \(\bar{x} = \frac{x_{(1)} + x_{(n)}}{2} \quad \text{e} \quad s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2\)
  5. \(\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i}{n} \quad \text{e} \quad \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2\)
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Gabarito

B

Comentário do professor

A alternativa B indica corretamente os estimadores desejados. Para a média, o estimador de máxima verossimilhança coincide com a média amostral \(\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\). Esse estimador é não viesado, pois \(E[\bar{X}]=\mu\).

Para a variância, o estimador de máxima verossimilhança é \(\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2\), mas ele é viesado para \(\sigma^2\). Para obter um estimador não viesado ajusta-se o denominador para \(n-1\): \(s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2\).

Essa correção aparece porque a utilização da média amostral reduz os graus de liberdade em uma unidade, garantindo que \(E[s^2]=\sigma^2\).

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