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Questão FC784036

Seja a função de probabilidade de uma variável aleatória X com distribuição de Poisson com parâmetro \(\theta\), P(X = x) = \(\frac{\theta^X e^{-\theta}}{x!}x=0,1,2,...\) e \(\thet

Característica dos Estimadores

Instituto AOCP · 2024

Seja a função de probabilidade de uma variável aleatória X com distribuição de Poisson com parâmetro \(\theta\), P(X = x) = \(\frac{\theta^X e^{-\theta}}{x!}x=0,1,2,...\) e \(\theta > 0\). Dada a amostra aleatória da variável X, [x1, x2, ... ,xn] o estimador de Máxima Verossimilhança do parâmetro \(\theta\) é tal que

  1. maximiza a função de probabilidade no valor da observação xn e tem por expressão \(\hat{\theta}=\frac{\Sigma^n_{i=1}x_i}{n}\).
  2. minimiza o Erro Quadrático Médio em relação ao valor da observação xn e tem por expressão \(\hat{\theta}=\frac{\Sigma^n_{i=1}x_i^2}{n}\).
  3. maximiza a função distribuição de probabilidade no ponto xn e tem por expressão \(\hat{\theta}=\frac{\Sigma^n_{i=1}x_i^2}{n}\).
  4. maximiza a chance da amostra [x1, x2, ... , xn] ocorrer e tem por expressão \(\hat{\theta}=\frac{\Sigma^n_{i=1}x_i}{n}\).
  5. maximiza a chance da amostra [x1, x2, ... , xn] ocorrer e tem por expressão \(\hat{\theta}=\frac{\Sigma^n_{i=1}x_i^2}{n}\).
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Gabarito

D

Comentário do professor

O estimador de máxima verossimilhança procura o valor de \(\theta\) que torna a amostra observada mais provável. Para a distribuição de Poisson com \(P(X=x)=\dfrac{\theta^x e^{-\theta}}{x!}\), a função de verossimilhança da amostra \([x_1,\dots,x_n]\) é \(L(\theta)=\prod_{i=1}^n \dfrac{\theta^{x_i} e^{-\theta}}{x_i!}\).

Tomando o logaritmo, obtemos a log‑verossimilhança: \(\log L(\theta)=\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)\log\theta - n\theta - \sum_{i=1}^n\log x_i!\). Derivando em relação a \(\theta\) e igualando a zero: \(\dfrac{\sum_{i=1}^n x_i}{\theta}-n=0\).

Resolve-se para \(\theta\) e encontra-se \(\hat{\theta}=\dfrac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}\). Assim, o EMV é a média amostral dos contagens observadas, valor que maximiza a probabilidade da amostra e é compatível com \(\theta>0\).

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