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Questão FC784037

Suponha uma amostra aleatória [x1, x2, .... , xn] tomada de uma distribuição Normal com média \(\mu\) e variância \(\sigma^2\) que forneceu a média amostral \(\bar{x}\). Então, os

Característica dos Estimadores

Instituto AOCP · 2022

Suponha uma amostra aleatória [x1, x2, .... , xn] tomada de uma distribuição Normal com média \(\mu\) e variância \(\sigma^2\) que forneceu a média amostral \(\bar{x}\). Então, os estimadores do parâmetro \(\sigma^2\) de Máxima Verossimilhança e UMVU (Uniformemente de Mínima Variância Não Viciado) são, respectivamente:

  1. \(\widehat{ \sigma}^2 = { \large \sum_{i =1}^n ( x_i - \bar{x})^2 \over n -1}\) e \(s^2= { \large sum_{i =1}^n ( x_i - \bar{x})^2 \over n}\)

  2. \(\widehat{ \sigma}^2 = { \large \sum_{i =1}^n (x_i)^2 \over n}\) e \(s^2= { \large sum_{i =1}^n ( x_i )^2 \over n -1}\)

  3. \(\widehat{ \sigma}^2 = { \large \sum_{i =1}^n ( \bar{x})^2 \over n -1}\) e \(s^2= { \large sum_{i =1}^n ( \bar{x})^2 \over n}\)

  4. \(\widehat{ \sigma}^2 = { \large \sum_{i =1}^n ( x_i - \bar{x})^2 \over n}\) e \(s^2= { \large sum_{i =1}^n ( x_i - \bar{x})^2 \over n -1}\)

  5. \(\widehat{ \sigma}^2 = { \large \sum_{i =1}^n ( \bar{x})^2 \over n -1}\) e \(s^2= { \large sum_{i =1}^n (\bar{x})^2 \over n -2}\)

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Gabarito

D

Comentário do professor

Para uma amostra de uma Normal, a alternativa correta apresenta os estimadores \(\widehat{\sigma}^2=\dfrac{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}{n}\) e \(s^2=\dfrac{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}{n-1}\).

O estimador \(\widehat{\sigma}^2\) é o de Máxima Verossimilhança. Ao maximizar a log-verossimilhança da Normal em relação a \(\sigma^2\) obtém-se a divisão por \(n\). Esse estimador é viciado: \(E[\widehat{\sigma}^2]=\tfrac{n-1}{n}\sigma^2\), logo subestima \(\sigma^2\).

O estimador \(s^2\) é o UMVU (Uniformemente Mínima Variância Não Viciado). Usando que \((n-1)s^2/\sigma^2\sim\chi^2_{n-1}\) conclui-se que \(E[s^2]=\sigma^2\). Pelo teorema de Lehmann–Scheffé, como a soma de quadrados é estatística suficiente e completa, \(s^2\) é o estimador não viciado de menor variância.

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