Supondo que [X1, X2 , ... , Xn] seja uma amostra aleatória da variável aleatória X com distribuição Poisson com parâmetro \(\theta\), ou seja, P(\(\theta\)), é correto afirmar que

Gabarito

D

Comentário do professor

Estatística suficiente: para uma amostra \(X_1,\dots,X_n\) de uma variável com distribuição Poisson \(P(\theta)\), a soma \(T=\sum_{i=1}^n X_i\) é suficiente para \(\theta\).

Aplicando o Teorema de fatorização, a função de verossimilhança é \(L(\theta;X)=\prod_{i=1}^n \dfrac{\theta^{X_i}e^{-\theta}}{X_i!} = \theta^{\sum_{i=1}^n X_i} e^{-n\theta}\cdot \prod_{i=1}^n \dfrac{1}{X_i!}.\)

Observe que toda a dependência de \(\theta\) aparece apenas através de \(\sum_{i=1}^n X_i\). Portanto existe uma fatoração em que uma função depende de \(\theta\) somente por meio de \(T\) e outra não depende de \(\theta\).

Isso garante, pela fatorização, que \(T=\sum_{i=1}^n X_i\) é uma estatística suficiente para o parâmetro \(\theta\).