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Questão FC784039

Suponha a amostra aleatória \([X_1,X_2,...,X_n]\) de uma população (distribuição) \(N(\um, \sigma^2)\) e considere os estimadores dos parâmetros \(\mu\)e \(\sigma^2\), respectivame

Característica dos Estimadores

Instituto AOCP · 2024

Suponha a amostra aleatória \([X_1,X_2,...,X_n]\) de uma população (distribuição) \(N(\um, \sigma^2)\) e considere os estimadores dos parâmetros \(\mu\)e \(\sigma^2\), respectivamente, \(\overline{x}\) e \(\hat{\sigma}^2=\frac{\Sigma^n_{i=1}(x_1-\overline{x}^2}{n}\). Então, o vício e o erro quadrático médio do estimador \(\hat{\sigma}^2\) são, respectivamente,

  1. \(\frac{\sigma^2}{n}\) e \(\frac{\sigma^4}{n^2}\).
  2. \(\frac{\sigma^2}{n}\) e \((\frac{2n+1}{n^2})\sigma^4\).
  3. \(-\frac{\sigma^2}{n}\) e \(\frac{\sigma^4}{n^2}\).
  4. \(-\frac{\sigma^2}{n}\) e \((\frac{2n-1}{n^2)\sigma^4\).
  5. \(-\frac{sigma^2}{n}\) e \((\frac{2n+1}{n^2})\sigma^4\)
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Gabarito

D

Comentário do professor

Para o estimador \(\hat{\sigma}^2=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2\) vale a propriedade \(E\!\left[\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2\right]=(n-1)\sigma^2\), pois a soma dos quadrados segue distribuição qui-quadrado com \(n-1\) graus de liberdade. Portanto \(E[\hat{\sigma}^2]=\dfrac{n-1}{n}\sigma^2\).


O viés é \(E[\hat{\sigma}^2]-\sigma^2=\dfrac{n-1}{n}\sigma^2-\sigma^2=-\dfrac{\sigma^2}{n}\).


A variância de \(\hat{\sigma}^2\) decorre da variância da qui-quadrado escalada, resultando em \(\text{Var}(\hat{\sigma}^2)=\dfrac{2(n-1)}{n^2}\sigma^4\). O MSE é \(\text{Var}(\hat{\sigma}^2)+\text{viés}^2=\dfrac{2(n-1)}{n^2}\sigma^4+\left(\dfrac{\sigma^2}{n}\right)^2=\dfrac{2n-1}{n^2}\sigma^4\).

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