Questão FC784041
Um grande complexo administrativo do estado possui um número de funcionários igual a N servidores. O responsável pela administração desse órgão público necessita estimar o consumo
Intervalos de Confiança
Instituto AOCP · 2024
Um grande complexo administrativo do estado possui um número de funcionários igual a N servidores. O responsável pela administração desse órgão público necessita estimar o consumo médio de certo produto por funcionário. Sendo assim, precisa obter uma amostra aleatória de tamanho n dos N servidores para entrevistá-los e conseguir os dados. De experiências anteriores, é conhecido o desvio-padrão σ da variável aleatória correspondente ao consumo do produto. Com as informações da população finita N e do desvio-padrão σ da variável aleatória, o estatístico responsável pelo plano amostral fixou um erro de amostragem (precisão) em d e a amplitude para o intervalo de confiança é 2d. Ainda, fixou o nível de confiança da estimativa em \(1 - \alpha\) e em correspondência obteve o escore padronizado de \(Z\frac{\alpha}{2}\). Finalmente, dimensionou o tamanho da amostra em
- \(n \ge (\frac{Z_{\alpha /2} \cdot \sigma}{d})^2\)
- \(n \ge (\frac{Z_{\alpha /2} \cdot \sigma}{2d})^2\)
- \(n \ge \frac{N.z\frac{\overset{2}{\alpha}}{2}.\sigma^2}{\frac{\overset{2}{\alpha}}{2}.\sigma^2-2(N-1)d^2}\)
- \(n \ge \frac{N.z\frac{\overset{2}{\alpha}}{2}.\sigma^2}{\frac{\overset{2}{\alpha}}{2}.\sigma^2+2(N-1)d^2}\)
- \(n \ge \frac{N.z\frac{\overset{2}{\alpha}}{2}.\sigma^2}{\frac{\overset{2}{\alpha}}{2}.\sigma^2+(N-1)d^2}\)
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Partimos do erro padrão da média para população finita: \( \text{EP}=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\sqrt{\dfrac{N-n}{N-1}}\).
A precisão desejada \(d\) relaciona-se ao escore crítico por \(d=Z_{\frac{\alpha}{2}}\cdot\text{EP}\).
Substituindo o erro padrão: \(d=Z_{\frac{\alpha}{2}}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\sqrt{\dfrac{N-n}{N-1}}\). Elevando ao quadrado e isolando \(n\) obtém-se
\(d^2=Z_{\frac{\alpha}{2}}^2\cdot\dfrac{\sigma^2}{n}\cdot\dfrac{N-n}{N-1}\).
Rearranjando os termos e resolvendo para \(n\) vem
\(n\big(d^2(N-1)+Z_{\frac{\alpha}{2}}^2\sigma^2\big)=N Z_{\frac{\alpha}{2}}^2\sigma^2.\)
Logo, a amostra mínima é
\(n\ge \dfrac{N\;Z_{\frac{\alpha}{2}}^2\;\sigma^2}{Z_{\frac{\alpha}{2}}^2\;\sigma^2+(N-1)\;d^2}\), que incorpora o fator de correção para população finita e garante a precisão \(d\) com confiança \(1-\alpha\).
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