Considere a variável aleatória número de pessoas infectadas por certa doença em um município. Suponha que seja necessário realizar um levantamento sobre a disseminação da doença pa

Gabarito

B

Comentário do professor

Queremos garantir \(P\!\left(\left|\dfrac{X_n}{n}-p\right|<0{,}1\right)\ge 0{,}95\).

Como \(X_n\sim\) Binomial\((n,p)\), a média de \(\dfrac{X_n}{n}\) é \(p\) e a variância é \(\dfrac{p(1-p)}{n}\le\dfrac{1}{4n}\).

Aplicando a Desigualdade de Chebyshev: \(P\!\left(\left|\dfrac{X_n}{n}-p\right|<\varepsilon\right)\ge 1-\dfrac{\operatorname{Var}(\,X_n/n\,)}{\varepsilon^2}\). Com \(\varepsilon=0{,}1\) e o bound da variância,

\(1-\dfrac{1}{4n\cdot(0{,}1)^2}\ge 0{,}95\). Isso leva a \(\dfrac{1}{4n\cdot 0{,}01}\le 0{,}05\), ou seja \(n\ge 500\).

Portanto, o menor tamanho de amostra assegurado pela desigualdade é \(\boldsymbol{n=500}\).