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Questão FC784052

Seja a amostra aleatória de tamanho pequeno [X1, X2, ... , X10] de uma variável aleatória X com distribuição de probabilidade normal com média \(\mu\) e variância \(\sigma^2\), ent

Testes de Hipóteses

Instituto AOCP · 2024

Seja a amostra aleatória de tamanho pequeno [X1, X2, ... , X10] de uma variável aleatória X com distribuição de probabilidade normal com média \(\mu\) e variância \(\sigma^2\), então, as estatísticas \({ \large \bar{x} - \mu \over ^\sigma/_ \sqrt{10}}, { \large \bar{x} - \mu \over ^s/_ \sqrt{10}}, { \large x - \mu \over \sigma}\) e \({ \large x - \mu \over s}\) têm quais distribuições, respectivamente?

  1. Normal Padrão N(0, 1), “t” de Student com 9 graus de liberdade, Normal Padrão N(0, 1), “t” de Student com 9 graus de liberdade.
  2. As quatro (04) estatísticas têm distribuições iguais a Normal Padrão N(0, 1).
  3. As quatro (04) estatísticas têm distribuições iguais a “t” de Student com 10 graus de liberdade.
  4. Qui-quadrado com 10 graus de liberdade, Qui-quadrado com 9 graus de liberdade, Normal Padrão N(0, 1) e Normal Padrão N(0, 1).
  5. Normal Padrão N(0, 1), “t” de Student com 10 graus de liberdade, Normal Padrão N(0, 1), “t” de Student com 8 graus de liberdade.
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Gabarito

A

Comentário do professor

\(\dfrac{\bar{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{10}}\)
Como \(\bar X\sim N(\mu,\sigma^2/10)\), a padronização com a verdadeira \(\sigma\) resulta em distribuição Normal Padrão \(N(0,1)\).

\(\dfrac{\bar{x}-\mu}{s/\sqrt{10}}\)
Ao substituir \(\sigma\) por \(s\) (estimador amostral), introduz‑se variabilidade extra. Pela relação entre normal e qui‑quadrado, a estatística segue a t de Student com \(n-1=9\) graus de liberdade.

\(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\)
Uma observação isolada de uma normal, padronizada pela verdadeira \(\sigma\), é uma variável Normal Padrão \(N(0,1)\).

\(\dfrac{x-\mu}{s}\)
Substituir \(\sigma\) por \(s\) ao padronizar uma observação incorpora a estimação da variância e leva à t de Student com \(n-1=9\) graus de liberdade.

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