Questão FC784054
Se as variáveis aleatórias Xi, i = 1, 2, ... , n têm distribuição Normal independentemente distribuídas com média \(\mu\) e variância \(\sigma^2\), então a variável aleatória \(U=\
Testes de Hipóteses
Instituto AOCP · 2024
Se as variáveis aleatórias Xi, i = 1, 2, ... , n têm distribuição Normal independentemente distribuídas com média \(\mu\) e variância \(\sigma^2\), então a variável aleatória \(U=\Sigma^n_{i=1}(\frac{x_i - \mu}{\sigma})^2\) tem distribuição
- Normal Padrão, N(0, 1).
- Qui-quadrado com n - 1 graus de liberdade.
- “t” de Student com n - 1 graus de liberdade.
- F de Snedecor com 1 e n graus de liberdade.
- Qui-quadrado com n graus de liberdade.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Cada termo \(Z_i=\dfrac{X_i-\mu}{\sigma}\) é uma variável padronizada com distribuição \(N(0,1)\), pois subtrai-se a média verdadeira \(\mu\) e divide-se pelo desvio padrão \(\sigma\).
Como as \(X_i\) são independentes, as \(Z_i\) também são independentes. A soma dos quadrados de variáveis normais padrão independentes gera uma distribuição conhecida.
Portanto \(U=\sum_{i=1}^n Z_i^2=\sum_{i=1}^n\left(\dfrac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2\) segue a distribuição Qui-quadrado com n graus de liberdade, isto é \(U\sim\chi^2_n\).
O número de graus de liberdade é exatamente n porque somam-se os quadrados de n variáveis \(Z_i\).
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