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Questão FC784069

Um estatístico necessita relacionar uma variável aleatória dependente Y com duas outras variáveis explicativas X1 e X2. Ele observou n vezes os valores de Y em função de X1 e X2 e

Regressão

Instituto AOCP · 2024

Um estatístico necessita relacionar uma variável aleatória dependente Y com duas outras variáveis explicativas X1 e X2. Ele observou n vezes os valores de Y em função de X1 e X2 e ajustou um modelo linear aos dados observados minimizando a Soma dos Quadrados dos Erros, \(\sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i)^2\) entre valores observados e valores ajustados pelo modelo para estimar os parâmetros por \(\hat{ \beta} = (X' X)^{-1} X' \underline{Y}\). Nessa expressão, \(\hat{ \beta}\)é o vetor de estimativas dos parâmetros, X é a matriz do modelo de ordem nxp e Y é o vetor de respostas, ou seja, a variável dependente. Os resultados do ajuste estão nas tabelas a seguir:

Parâmetro Estimativa Erro padrão Estatística t Valor-p
\(\beta_1\) 1,45092 0,306992 4,72625 0,0052
\(\beta_2\) 0,497226 0,070312 7,07172 0,0009

Análise da Variância

Fonte de variação Soma de Quadrados G.L.

Quadrado

médio

 Razão F Valor-p
Modelo 1022,57 1 1022,57 2525,86 0,0000
Residual 2,42905 6 0,40484    
Total 1025,0 7      

Então, é correto afirmar que

  1. o modelo ajustado é Y = 1,45092.X1 + 0,497226. X2 e foi obtido aplicando Mínimos Quadrados Ordinários aos 8 dados observados, e o valor do Coeficiente de Correlação Múltipla ao Quadrado é 99,763%.
  2. o modelo ajustado é y = 25 - 1,50921.X1 - 0,305972.X2 e foi obtido aplicando Mínimos Quadrados Ordinários aos 7 dados observados, e o valor do Coeficiente de Correlação Múltipla ao Quadrado é 0,237%.
  3. o valor-p do modelo na Análise da Variância é menor que 0,05. Logo, isso indica que não existe relacionamento estatisticamente significativo entre as variáveis, e, ainda, o valor do Coeficiente de Correlação Múltipla ao Quadrado é muito baixo, igual a 0,237%.
  4. todos os coeficientes de regressão têm valor-p menor que 0,05. Logo, não são significativos estatisticamente.
  5. o valor do Coeficiente de Correlação Múltipla ao Quadrado é muito baixo, igual a 0,237%.
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Gabarito

A

Comentário do professor

Os coeficientes estimados fornecem o modelo ajustado: \(Y = 1{,}45092\cdot X_1 + 0{,}497226\cdot X_2\).

O enunciado informa que as estimativas foram obtidas por Mínimos Quadrados Ordinários, isto é, \(\hat{\beta}=(X'X)^{-1}X'\underline{Y}\). A partir dos graus de liberdade totais (\(\text{df}_{total}=7\)) infere‑se que o número de observações é n = 8, pois \(7 = n-1\).

O coeficiente de determinação é dado por \(R^2=\dfrac{\text{SS}_{modelo}}{\text{SS}_{total}}=\dfrac{1022{,}57}{1025{,}0}\approx 0{,}99763\), ou seja, 99,763%. Isso significa que cerca de 99,76% da variação de Y é explicada conjuntamente por \(X_1\) e \(X_2\).

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