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Questão FC784079

Considere o modelo do processo Autorregressivo de Série Temporal de ordem p, ou seja, AR(p) com o termo constante \(\delta, Z_t = \delta + \phi_1Z_{t-1}+\phi_2Z_{t-2}+...+\phi_pZ_{

Análise de Séries Temporais

Instituto AOCP · 2024

Considere o modelo do processo Autorregressivo de Série Temporal de ordem p, ou seja, AR(p) com o termo constante \(\delta, Z_t = \delta + \phi_1Z_{t-1}+\phi_2Z_{t-2}+...+\phi_pZ_{t-p}+a_t\). O valor da média \(\mu\) do processo em função dos coeficientes do modelo é

  1. \(\mu = 1 - \phi 1 - \phi 2 - ... - \phi p\).
  2. \(\mu = \frac{\delta}{1-\phi 1 - \phi 2 - ... - \phi p}\).
  3. \(\mu = \frac{phi 1 + \phi 2 + ... + \phi p}{p}\).
  4. \(\mu = \frac{phi 1 + \phi 2 + ... + \phi p}{\delta + p}\).
  5. \(\mu = \delta\).
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Gabarito

B

Comentário do professor

Média: considere o modelo \(Z_t=\delta+\phi_1Z_{t-1}+\dots+\phi_pZ_{t-p}+a_t\) e que \(a_t\) tem média zero, isto é, \(\mathbb{E}[a_t]=0\).

Se o processo for estacionário, as expectativas passadas são iguais à atual, então \(\mathbb{E}[Z_t]=\mathbb{E}[Z_{t-1}]=\dots=\mu\).

Tomando expectativa em ambos os lados: \(\mu=\delta+\phi_1\mu+\phi_2\mu+\dots+\phi_p\mu+\mathbb{E}[a_t]\).

Como \(\mathbb{E}[a_t]=0\), simplifica para \(\mu=\delta+\mu(\phi_1+\phi_2+\dots+\phi_p)\).

Isolando \(\mu\): \(\delta=\mu\big(1-(\phi_1+\phi_2+\dots+\phi_p)\big)\), portanto

\(\mu=\dfrac{\delta}{1-\phi_1-\phi_2-\dots-\phi_p}\).

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