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Questão FC784080

O processo estocástico tipo Série Temporal \(Z_t - 0,5Z_{t-1}=a_t - 0,5Z_{t-2}\) tem polinômio característico \(\Phi(B)=1-0,5B+0,5B^2\) com raízes \(B=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{

Análise de Séries Temporais

Instituto AOCP · 2024

O processo estocástico tipo Série Temporal \(Z_t - 0,5Z_{t-1}=a_t - 0,5Z_{t-2}\) tem polinômio característico \(\Phi(B)=1-0,5B+0,5B^2\) com raízes \(B=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) \(\Rightarrow\) \(B=\frac{1 \pm \sqrt{1-4.1.2}}{2.1}=\frac{1 \pm \sqrt{-7}}{2} = \frac{1}{2} \pm \frac{1}{2}\sqrt{7}i\)(número complexo). Sendo assim, é correto afirmar que

  1. o modelo da estrutura AR(2) não é estacionário, é inversível, o grau de diferenciação é d = 1 e o modelo na forma ARIMA é ARIMA(2, 1, 0).
  2. o modelo da estrutura AR(2) é estacionário, não é inversível, o grau de diferenciação é d = 1 e o modelo na forma ARIMA é ARIMA(2, 1, 0).
  3. o modelo da estrutura AR(2) não é estacionário, não é inversível, o grau de diferenciação é d = 1 e o modelo na forma ARIMA é ARIMA(2, 1, 0).
  4. o modelo da estrutura AR(1) é estacionário, não é inversível, o grau de diferenciação é d = 1 e o modelo na forma ARIMA é ARIMA(1, 1, 0).
  5. o modelo da estrutura AR(2) é estacionário, é inversível, o grau de diferenciação é d = 0 e o modelo na forma ARIMA é ARIMA(2, 0, 0).
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Gabarito

Errado

Comentário do professor

O polinômio característico é \( \Phi(B)=1-0{,}5B+0{,}5B^2 \). As raízes são \(B=\tfrac{1}{2}\pm\tfrac{\sqrt{7}}{2}i\). Seu módulo é \(|B|=\sqrt{(1/2)^2+(\sqrt{7}/2)^2}=\sqrt{2}>1\). Como as raízes estão fora do círculo unitário, o processo é estacionário.

A condição de inversibilidade refere‑se ao polinômio MA. Aqui não há componente MA, pois a parte em \(a_t\) é apenas \(a_t\) (polinômio igual a 1). Assim, a condição de inversibilidade é satisfeita de forma trivial.

Não há operação de diferenciação presente, logo o grau de diferenciação é d = 0. Sendo um AR de ordem 2 sem MA nem diferenciação, o modelo na forma ARIMA é ARIMA(2, 0, 0).

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