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Questão FC784088

Aplicou-se a técnica de Componentes Principais à matriz de correlação amostral de um vetor aleatório de dimensão 3, X ′ =[X1, X2, X3], observado n = 24 vezes. Os resultados são os

Análise Multivariada

Instituto AOCP · 2024

Aplicou-se a técnica de Componentes Principais à matriz de correlação amostral de um vetor aleatório de dimensão 3, X ′ =[X1, X2, X3], observado n = 24 vezes. Os resultados são os seguintes:

Autovalores da Matriz de Correlação e Percentual da Variância Explicada

 

Componente

Principal

 Autovalor

Variância

Explicada %

Porcentagem

Acumulada %
Y1 2,87184 95,728 95,728
Y2 0,0878586 2,929 98,657
Y3 0,0403037 1,343 100,000
 

Autovetores da Matriz de Correlação

Variável

original

padronizada

1ª

Componente

Y1

2ª

Componente

Y2

3ª

Componente

Y3
Z1 0,582 -0,041 0,812
Z2 0,575 -0,684 -0,447
Z3 0,574 0,727 -0,374
 

Com base nos resultados, é correto afirmar que

  1. a 1a Componente Principal, Y1, explica 95,728% da variação total dos dados e, consequentemente, pode substituir as três variáveis originais com pequena perda de informação.
  2. a 1a Componente Principal é a Combinação Linear Y1 = 0,582.Z1 – 0,041.Z2 +0,812.Z3.
  3. as três Componentes Principais Y1, Y2 e Y3 têm a mesma matriz de correlação das variáveis originais X1, X2, X3.
  4. a aplicação da técnica das Componentes Principais é usada quando o vetor aleatório das variáveis originais X ′ =[X1, X2, X3] obrigatoriamente tem distribuição Normal Multivariada, ou seja, X ~ N3 (\(\mu\), \(\Sigma\)).
  5. a 3a Componente Principal, Y3, tem a menor variância explicada e, portanto, é a mais importante das três.
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Gabarito

A

Comentário do professor

A alternativa está correta porque a primeira componente principal, Y1, concentra a maior parte da variação dos dados: seu autovalor é \( \lambda_1 = 2{,}87184\). Como a matriz de correlação em dimensão 3 tem variância total igual a 3, a proporção explicada é \( \frac{\lambda_1}{p} = \frac{2{,}87184}{3} = 0{,}95728\), ou seja, 95,728%.

Isso significa que, ao representar os dados apenas por Y1, perde-se cerca de \(100\% - 95{,}728\% = 4{,}272\%\) da variabilidade total, uma perda pequena. Em termos práticos, Y1 oferece uma eficaz redução de dimensionalidade sem descartar informação relevante.

A componente é uma combinação linear das variáveis padronizadas: \(Y_1 = 0{,}582\,Z_1 + 0{,}575\,Z_2 + 0{,}574\,Z_3\). Assim, projetando os dados sobre Y1 obtém-se uma representação compacta que preserva a maior parte da estrutura de variância.

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