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Questão FC784089

Na execução das técnicas da Análise de Componentes Principais e Análise Fatorial, há necessidade do cálculo dos autovalores e autovetores da matriz de correlação do vetor aleatório

Análise Multivariada

Instituto AOCP · 2024

Na execução das técnicas da Análise de Componentes Principais e Análise Fatorial, há necessidade do cálculo dos autovalores e autovetores da matriz de correlação do vetor aleatório observado. Considere a matriz de correlação do vetor aleatório X ′= [X1 X2], \(\rho=\begin{bmatrix} 1&0,9\\0,9&1\end{bmatrix}\). Os autovalores e os autovetores dessa matriz são, respectivamente,

  1. \(\lambda\) = 1,9 e e ′ = [0,707 0,707].
  2. \(\lambda_1\) = 1,9 \(\lambda_2\) = 0,1 e1 ′ = [0,707 0,707] e e2′ = [0,707 -0,707].
  3. \(\lambda\) = 2,0 e e′ = [0,707 -0,707].
  4. \(\lambda_1\) = 1,0 \(\lambda_2\) = 0,5 e1′ = [0,707 -0,707] e e2′ = [0,707 0,707].
  5. \(\lambda_1\) = 2,0 \(\lambda_2\) = 1,0 e1 ′ = [0,707 -0,707] e e2 ′ = [-0,707 0,707].
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Gabarito

B

Comentário do professor

Para obter os autovalores de \( \rho = \begin{bmatrix}1 & 0,9\\[2pt]0,9 & 1\end{bmatrix}\) resolvemos \(\det(\rho - \lambda I)=0\). Isso dá \((1-\lambda)^2 - 0{,}9^2 = 0\), logo \(1-\lambda = \pm 0{,}9\) e os autovalores são \( \lambda_1=1{,}9\) e \( \lambda_2=0{,}1\).

Para os autovetores resolvemos \((\rho-\lambda I)e=0\). Com \(\lambda_1=1{,}9\) obtemos a equação \( -0{,}9 e_1 + 0{,}9 e_2 =0\), ou seja \(e_1=e_2\). Vetor proporcional é \([1,1]\), e o vetor normalizado é \(e_1'=[0{,}707\;\;0{,}707]\).

Com \(\lambda_2=0{,}1\) vem \(0{,}9 e_1 + 0{,}9 e_2=0\), ou seja \(e_1=-e_2\). Vetor proporcional é \([1,-1]\), normalizado para \(e_2'=[0{,}707\;\;-0{,}707]\).

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