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Questão FC784090

Na Análise de Componentes Principais, conceitua-se algebricamente Componentes Principais como combinações lineares particulares não correlacionadas das p variáveis aleatórias X1, X

Análise Multivariada

Instituto AOCP · 2024

Na Análise de Componentes Principais, conceitua-se algebricamente Componentes Principais como combinações lineares particulares não correlacionadas das p variáveis aleatórias X1, X2, ... , Xp que compõem o vetor aleatório X. Também é correto afirmar que

  1. geometricamente essas combinações lineares representam a seleção de um novo sistema de coordenadas obtido por rotação do sistema original com X1, X2, ... , Xp como eixos. Os novos eixos Y1, Y2, ... ,Yp representam as direções com variabilidade mínima e fornecem uma descrição completa do sistema mediano.
  2. geometricamente essas combinações lineares representam a seleção de um novo sistema de coordenadas obtido por rotação do sistema original com X1, X2, ... , Xp como eixos. Os novos eixos Y1, Y2, ... ,Yp representam as direções com variabilidade máxima e fornecem uma descrição mais simples e mais parcimoniosa da estrutura de covariância.
  3. geometricamente essas combinações lineares representam a seleção de um novo sistema de coordenadas obtido da transformação do sistema original com X1, X2, ... , Xp como eixos em um novo sistema com eixos Y1, Y2, ... ,Yp que representam as direções mutuamente dependentes duas a duas.
  4. geometricamente essas combinações lineares representam a seleção de um novo sistema de coordenadas obtido da transformação do sistema original com X1, X2, ... , Xp como eixos em um novo sistema com eixos Y1, Y2, ... ,Yp tais que, quando se extrai m < p Componentes Principais, se alcança uma maior explicação quanto à variabilidade dos dados.
  5. geometricamente essas combinações lineares representam a seleção de um novo sistema de coordenadas obtido da transformação do sistema original com X1, X2, ... , Xp como eixos em um novo sistema com eixos Y1, Y2, ... ,Yp que representam direções que cortam transversalmente os eixos originais.
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Gabarito

B

Comentário do professor

PCA pode ser vista geometricamente como uma rotação do sistema de coordenadas original \((X_1,\dots,X_p)\) para um novo sistema \((Y_1,\dots,Y_p)\). Cada \(Y_j\) é uma combinação linear das variáveis originais que define um novo eixo no espaço dos dados.

Esses novos eixos coincidem com os autovetores da matriz de covariância \(\Sigma\). As variâncias dos componentes são os correspondentes autovalores \(\lambda_j\), de modo que \( \Sigma = P\Lambda P^\top\) e \(Y = P^\top X\).

Os eixos \(Y_j\) são mutuamente ortogonais e, portanto, os componentes são não correlacionados. São ordenados pelas variâncias decrescentes, de forma que os primeiros representam as direções de variabilidade máxima e permitem uma descrição mais simples e parcimoniosa da estrutura de covariância ao reter apenas \(m

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