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Questão FC784091

A estrutura de covariância de um vetor aleatório de dimensão p = 3, X’ = [X1 X2 X3] tem matriz de covariância estimada para n observações do vetor X por \(S = { \begin{bmatrix} 4\,

Análise Multivariada

Instituto AOCP · 2024

A estrutura de covariância de um vetor aleatório de dimensão p = 3, X’ = [X1 X2 X3] tem matriz de covariância estimada para n observações do vetor X por \(S = { \begin{bmatrix} 4\,\,1,8\,\,4,8\\1,8\,\,1\,\,2,1\\4,8\,\,2,1\,\,9 \end{bmatrix}}\)  . Uma Análise de Componentes Principais foi desenvolvida e forneceu os resultados das tabelas a seguir:

 
Componente Autovalor

Percentual (%) explicado

da variância

Percentual (%) explicado

acumulado da

variância
Y1 12,5574 89,696 89,696

Y2

 1,29165 9,226 98,922

Y3

 0,150927 1,078 100,000

Pesos das Componentes

  Y1 Y2

Y3
X1 0,512455 0,719790 0,468287
X2 0,230134 0,410268 0,882450
X3 0,827302 -0,559984 0,044595

Então, é correto afirmar que a componente principal mais importante na análise tem expressão:

  1. 0,512455.Y1 + 0,719790.Y2 - 0,468287.Y3
  2. 0,719790.X1 + 0,410268.X2 - 0,559984.X3
  3. -0,468287.X1 + 0,882450.X2 + 0,044595.X3
  4. 0,512455.X1 + 0,230134.X2 + 0,827302.X3
  5. 0,827302.Y1 - 0,559984.Y2 + 0,044595.Y3
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Gabarito

D

Comentário do professor

A alternativa correta apresenta a componente principal associada ao maior autovalor, que é \(Y_1\) (responsável por 89,696% da variância). Em Análise de Componentes Principais, essa componente captura a maior parte da variabilidade dos dados e sua forma é dada pelos coeficientes do autovetor correspondente.

Os pesos exibidos na tabela são justamente as entradas desse autovetor para \(Y_1\). Assim, a expressão da componente principal mais importante é a combinação linear das variáveis originais com esses coeficientes:

\(Y_1 = 0,512455\cdot X_1 + 0,230134\cdot X_2 + 0,827302\cdot X_3\).

Portanto, a alternativa D está correta por apresentar exatamente os coeficientes que definem \(Y_1\).

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