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Questão FC784093

Na Análise Fatorial, há necessidade de se verificar se a matriz de correlação do vetor observado n vezes, X de dimensão p, é significativamente diferente de uma matriz identidade.

Análise Multivariada

Instituto AOCP · 2024

Na Análise Fatorial, há necessidade de se verificar se a matriz de correlação do vetor observado n vezes, X de dimensão p, é significativamente diferente de uma matriz identidade. Um dos testes que pode ser aplicado para testar essa hipótese nula \(H_0:\rho = I_{(p \times p)} \times H_a: \rho \ne I_{(p \times p)}\) é o Teste de Esfericidade de Bartlett. Considerando \(\lambda_1 i = 1,2,..., p\) os autovalores da matriz de correlação amostral R, tem-se que a estatística desse teste e sua distribuição são

  1. \(T=\Sigma^p_{i=1}\lambda^2_i\) e \(T\) tem distribuição Qui-quadrado com \(v=\frac{1}{2}n(n-1)\) graus de liberdade.
  2. \(T=\Sigma^p_{i=1}(1+\lambda^2_i)\) e \(T\) tem distribuição Qui- quadrado com \(v=\frac{1}{2}(n-1)\) graus de liberdade.
  3. \(T=\Sigma^p_{i=1}ln(\lambda^2_i)\) e \(T\) tem distribuição Qui-quadrado com \(v=\frac{1}{2}n(n-2)\) graus de liberdade.
  4. \(T=\Sigma^p_{i=1}ln(\lambda^2_i+1)\) e \(T\) tem distribuição Qui- quadrado com \(v=\frac{1}{2}p(p-2)\) graus de liberdade.
  5. \(T=-[n-\frac{1}{6}(2p+11)]\Sigma^p_{i=1}ln(\hat{\lambda}_i)\) e \(T\) tem distribuição Qui-quadrado com \(v=\frac{1}{2}p(p-1)\) graus de liberdade.
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Gabarito

Errado

Comentário do professor

Teste de Esfericidade de Bartlett verifica se a matriz de correlação populacional é a identidade, ou seja, se as variáveis são não correlacionadas. A hipótese nula é H0: \(\rho = I_{p}\) e a alternativa é \(\rho \ne I_{p}\).

A estatística do teste é \(T = -\left[n - \dfrac{1}{6}(2p+11)\right]\sum_{i=1}^{p}\ln(\hat{\lambda}_i)\), onde \(\hat{\lambda}_i\) são os autovalores da matriz de correlação amostral e \(n\) é o número de observações. Uso do log transforma o produto dos autovalores em soma; sob H0 todos os autovalores são 1, fazendo \(\ln(\hat{\lambda}_i)=0\) e \(T\) próximo de zero.

Sob H0 a estatística tem distribuição aproximada qui‑quadrado com v = \(\dfrac{1}{2}p(p-1)\) graus de liberdade. Valores grandes de \(T\) levam a rejeitar H0, indicando correlações significativas entre variáveis. O teste é assintótico, exigindo amostra adequada para boa aproximação.

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