Questão FC784102
Quando se faz uma pesquisa de opinião, eleitoral ou de mercado, geralmente a resposta do entrevistado é SIM ou NÃO, ou seja, uma variável aleatória Bernoulli. Na elaboração do inte
Lei dos Grandes Números e Teorema do Limite Central
Instituto AOCP · 2024
Quando se faz uma pesquisa de opinião, eleitoral ou de mercado, geralmente a resposta do entrevistado é SIM ou NÃO, ou seja, uma variável aleatória Bernoulli. Na elaboração do intervalo de confiança para o parâmetro de interesse da pesquisa que é a proporção de sucessos:
\(P(\hat{p}-Z_1 \alpha/2 \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \le p \le \hat{p} Z_1 - \alpha/2 \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = 1-\alpha\)
o múltiplo do Erro Padrão nesse intervalo é o escore da Normal Padrão Z. Então, é correto afirmar que quem garante o uso do escore da Normal Padrão Z no intervalo, já que a variável da pesquisa é a Bernoulli (discreta) é o resultado do(a)
- Teorema de Bayes.
- Lei Fraca dos Grandes Números de Tchebychev.
- Lei Forte dos Grandes Números de Kolmogorov.
- Lei Forte dos Grandes Números de Borel.
- Teorema Central do Limite de De Moivre- Laplace.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
A alternativa correta é o Teorema Central do Limite de De Moivre-Laplace. Ele afirma que, para uma soma de muitas variáveis independentes identicamente distribuídas, a distribuição padronizada tende à Normal mesmo quando as variáveis individuais são discretas, como a Bernoulli.
No caso de uma pesquisa com respostas SIM/NÃO, a contagem de sucessos \(X\) segue uma Binomial\((n,p)\) e a versão clássica do teorema dá \(\frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}} \xrightarrow{d} N(0,1)\). Daí decorre que a proporção amostral \(\hat{p}=X/n\) é aproximadamente normal: \(\hat{p}\approx N\!\left(p,\frac{p(1-p)}{n}\right)\).
Essa aproximação justifica o uso do escore da Normal Padrão Z no intervalo de confiança \(\hat{p}\pm Z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\), desde que \(n\) seja suficientemente grande (por exemplo \(np\) e \(n(1-p)\) razoavelmente maiores que 5).
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