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Questão FC784103

Considere Sn o número de sucessos em n provas do tipo Bernoulli, ou seja, binomial, independentes com probabilidade \(\theta\) de sucesso em cada prova, 0 < \(\theta\) < 1 e consid

Lei dos Grandes Números e Teorema do Limite Central

Instituto AOCP · 2024

Considere Sn o número de sucessos em n provas do tipo Bernoulli, ou seja, binomial, independentes com probabilidade \(\theta\) de sucesso em cada prova, 0 < \(\theta\) < 1 e considere também p = \(\theta\) e q = 1 - \(\theta\). Então, \({ \large S_n - E(S_n) \over \sqrt{V(S_n)}} = { \large S_n - np \over \sqrt{npq)}}\) converge em distribuição, quando n vai para o infinito, para a Normal Padrão, ou seja, N(0, 1) na forma \({ \large S_n - np \over \sqrt{npq)}} \vec{D}\,Z \sim N(0,1)\) O resultado de convergência que tem esse enunciado é

  1. o Teorema Central do Limite de Lindeberg.
  2. o Teorema Central do Limite de Lyapunov.
  3. a Lei dos Grandes Números de Tchebychev.
  4. o Teorema Central do Limite de De Moivre-Laplace.
  5. a Lei dos Grandes Números de Kolmogorov.
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Gabarito

D

Comentário do professor

A alternativa correta refere-se ao Teorema Central do Limite de De Moivre-Laplace. Trata-se do caso particular do Teorema Central do Limite aplicado à soma de variáveis de Bernoulli: \(S_n=\sum_{i=1}^n X_i\), com \(X_i\sim\) Bernoulli(\(p\)).

Como as \(X_i\) são independentes e identicamente distribuídas, com \(E(X_i)=p\) e \(\mathrm{Var}(X_i)=pq\), o TCL implica que a soma padronizada converge em distribuição para a normal padrão. Ou seja, \( {S_n-np\over\sqrt{npq}} \stackrel{d}{\to} N(0,1)\).

Esse resultado justifica a aproximação da binomial por \(N(np,npq)\) quando \(n\) é grande. Na prática recomenda-se verificar que \(np\) e \(nq\) não sejam muito pequenos e, ao aproximar probabilidades pontuais, considerar a correção de continuidade.

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